Дан остроугольный треугольник ABC. В нём высоты BB₁ и CC₁ пересекаются в точке H. а) Докажите, что ∠BAH=∠BB₁C₁. б)… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Треугольники средняя 2024 развёрнутое

Дан остроугольный треугольник $A B C$ . В нём высоты $B B_{1}$ и $C C_{1}$ пересекаются в точке $H$ .

а) Докажите, что $∠ B A H = ∠ B B_{1} C_{1}$ .

б) Найдите расстояние от центра описанной окружности до $B C$ , если $C_{1} B_{1} = 18$ , а $∠ B A C = 3 0^{\circ}$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Высоты перпендикулярны сторонам, поэтому $∠ A C_{1} H = ∠ A B_{1} H = 9 0^{\circ}$ . Точки $C_{1}$ и $B_{1}$ видят отрезок $A H$ под прямым углом, значит, лежат на окружности с диаметром $A H$ . Итак, точки $A$ , $C_{1}$ , $H$ , $B_{1}$ лежат на одной окружности.

Рисунок к решению

На рисунке $A A_{1}$ — третья высота треугольника, она тоже проходит через $H$ .

Вписанные углы $C_{1} A H$ и $C_{1} B_{1} H$ опираются на одну дугу $C_{1} H$ : точки $A$ и $B_{1}$ лежат по одну сторону от прямой $C_{1} H$ , то есть от прямой $C C_{1}$ (точка $B_{1}$ лежит на отрезке $A C$ , не совпадая с $C$ ). Значит, эти углы равны. Точка $C_{1}$ лежит на стороне $A B$ , поэтому $∠ C_{1} A H = ∠ B A H$ . Точка $H$ лежит на отрезке $B B_{1}$ , поэтому $∠ C_{1} B_{1} H = ∠ B B_{1} C_{1}$ . Получаем

$∠ B A H = ∠ B B_{1} C_{1} .$

Что и требовалось доказать.

б) Пусть $O$ — центр описанной окружности треугольника $A B C$ , $O K$ — перпендикуляр к $B C$ . Перпендикуляр из центра окружности к хорде делит её пополам, поэтому $K$ — середина $B C$ , а искомое расстояние равно $O K$ .

Высоты BB₁ и CC₁, расстояние OK от центра описанной окружности до BC

Докажем, что $O K = \frac{1}{2} A H$ . Проведём диаметр $A A^{'}$ описанной окружности. Вписанные углы $A B A^{'}$ и $A C A^{'}$ опираются на диаметр, поэтому они прямые: $A^{'} B ⊥ A B$ и $A^{'} C ⊥ A C$ . Высоты тоже перпендикулярны этим сторонам: $C H ⊥ A B$ , $B H ⊥ A C$ . Две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны, поэтому

$A^{'} B ∥ C H, A^{'} C ∥ B H .$

Противоположные стороны четырёхугольника $B H C A^{'}$ попарно параллельны, значит, это параллелограмм. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому середина $K$ диагонали $B C$ является и серединой диагонали $H A^{'}$ . В треугольнике $A H A^{'}$ точка $O$ — середина $A A^{'}$ , точка $K$ — середина $H A^{'}$ , значит, $O K$ — средняя линия, и

$O K = \frac{1}{2} A H .$

По пункту а) $A H$ — диаметр окружности, проходящей через $A$ , $C_{1}$ , $B_{1}$ . По теореме синусов для вписанного в эту окружность треугольника $A B_{1} C_{1}$ хорда равна произведению диаметра на синус противолежащего вписанного угла:

$B_{1} C_{1} = A H \cdot sin ∠ B_{1} A C_{1} \Rightarrow A H = \frac{18}{sin 3 0 ^{\circ}} = 36.$

Тогда $O K = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18$ .

Ответ можно получить и иначе. В прямоугольных треугольниках $A B B_{1}$ и $A C C_{1}$ имеем $A B_{1} = A B cos A$ и $A C_{1} = A C cos A$ , поэтому треугольник $A B_{1} C_{1}$ подобен треугольнику $A B C$ по двум пропорциональным сторонам и общему углу $A$ с коэффициентом $cos A$ . Значит,

$B C = \frac{B _{1} C _{1}}{cos 3 0 ^{\circ}} = \frac{18 \cdot 2}{3} = 123 .$

Центральный угол $B O C$ вдвое больше вписанного угла $B A C$ : $∠ B O C = 6 0^{\circ}$ . Равнобедренный треугольник $B O C$ с углом $6 0^{\circ}$ при вершине равносторонний, а $O K$ — его высота:

$O K = \frac{3}{2} \cdot B C = \frac{3}{2} \cdot 123 = 18.$

Ответ: б) $18$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18