Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Треугольники сложная развёрнутое

Прямая, проходящая через середину $M$ гипотенузы $A B$ прямоугольного треугольника $A B C$ , перпендикулярна $C M$ и пересекает катет $A C$ в точке $K$ . При этом $A K : K C = 1 : 2$ .

а) Докажите, что $∠ B A C = 3 0^{\circ}$ .

б) Пусть прямые $M K$ и $B C$ пересекаются в точке $P$ , а прямые $A P$ и $B K$ — в точке $Q$ . Найдите $K Q$ , если $B C = 21$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Прямоугольный треугольник ABC, точки P и Q

а) Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине, поэтому $M A = M B = M C$ . Треугольник $A M C$ равнобедренный, и $∠ M C A = ∠ M A C = ∠ B A C$ .

Пусть $F$ — основание перпендикуляра, опущенного из $M$ на $A C$ . В равнобедренном треугольнике $A M C$ высота $M F$ является медианой, поэтому $A F = F C = \frac{A C}{2}$ . По условию $A K : K C = 1 : 2$ , то есть $A K = \frac{A C}{3} < A F$ . Значит, $K$ лежит между $A$ и $F$ , и

$K F = A F - A K = \frac{A C}{2} - \frac{A C}{3} = \frac{A C}{6} .$

Треугольник $K M C$ прямоугольный с прямым углом $M$ (по условию $M K ⊥ C M$ ), а $M F$ — его высота, проведённая к гипотенузе $K C$ . Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, есть среднее пропорциональное отрезков, на которые она делит гипотенузу:

$M F^{2} = K F \cdot F C = \frac{A C}{6} \cdot \frac{A C}{2} = \frac{A C ^{2}}{12}, M F = \frac{A C}{2 3} .$

В прямоугольном треугольнике $M F C$

$tg ∠ M C F = \frac{M F}{F C} = \frac{A C}{2 3} : \frac{A C}{2} = \frac{1}{3},$

поэтому $∠ M C A = 3 0^{\circ}$ , и $∠ B A C = ∠ M C A = 3 0^{\circ}$ . Что и требовалось доказать.

б) В прямоугольном треугольнике $A B C$ тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$A C = \frac{B C}{tg 3 0 ^{\circ}} = 21 \cdot 3 = 37, A K = 7, K C = 27 .$

В прямоугольном треугольнике $K M C$ угол $C$ равен $3 0^{\circ}$ , поэтому $∠ M K C = 9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ .

Луч $K M$ идёт от прямой $A C$ в ту полуплоскость, где лежит $B$ . Прямая $B C$ перпендикулярна $A C$ в точке $C$ , а $6 0^{\circ} + 9 0^{\circ} < 18 0^{\circ}$ , поэтому луч $K M$ пересекает прямую $B C$ в точке $P$ на луче $C B$ . Треугольник $P C K$ прямоугольный с прямым углом $C$ и углом $6 0^{\circ}$ при вершине $K$ :

$P C = K C \cdot tg 6 0^{\circ} = 27 \cdot 3 = 221 = 2 B C .$

Значит, $B$ — середина отрезка $P C$ , и $P B = B C = 21$ .

Прямая $A P$ пересекает прямые, содержащие стороны треугольника $B K C$ : прямую $K C$ — в точке $A$ , прямую $C B$ — в точке $P$ , прямую $B K$ — в точке $Q$ . По теореме Менелая

$\frac{B Q}{Q K} \cdot \frac{K A}{A C} \cdot \frac{C P}{P B} = 1.$

Подставим $\frac{K A}{A C} = \frac{7}{3 7} = \frac{1}{3}$ и $\frac{C P}{P B} = 2$ :

$\frac{B Q}{Q K} \cdot \frac{1}{3} \cdot 2 = 1 \Rightarrow \frac{B Q}{Q K} = \frac{3}{2} .$

Точки $A$ и $P$ лежат на продолжениях сторон $K C$ и $C B$ . Прямая, не проходящая через вершины треугольника, пересекает либо две его стороны, либо ни одной. Значит, прямая $A P$ не пересекает и сторону $B K$ : точка $Q$ лежит на её продолжении, а так как $B Q > Q K$ , — за точкой $K$ . Тогда $B Q = B K + K Q$ , и

$\frac{B K + K Q}{K Q} = \frac{3}{2} \Rightarrow K Q = 2 B K .$

Из прямоугольного треугольника $B C K$ по теореме Пифагора

$B K = B C^{2} + K C^{2} = 21 + 28 = 7, K Q = 14.$

Ответ: б) $14$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18