Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию , касается её боковой стороны в точке . Луч вторично пересекает окружность в точке , а прямую — в точке , причём , .
а) Докажите, что .
б) Найдите основания трапеции.
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
Пусть — точка касания окружности с основанием , — с основанием , — центр окружности.
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов трапеции. Углы при основании равнобедренной трапеции равны, поэтому их половины и тоже равны, и треугольник равнобедренный. Радиус перпендикулярен касательной , то есть — высота этого треугольника, а значит, и медиана: — середина . Точно так же — середина .
а) Точка лежит вне окружности, луч пересекает окружность в точках и . Если бы была ближе к , чем , то выполнялось бы , а по условию . Значит, лежит между и , и
По теореме о касательной и секущей квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть:
Так как — середина , получаем . Треугольник равнобедренный с основанием , поэтому его углы при основании равны:
Прямая входит в трапецию в вершине и выходит из неё через точку боковой стороны . Поэтому точка лежит по другую сторону от прямой , чем и , то есть на продолжении основания за точку . Прямые и параллельны, — секущая, а точки и лежат по разные стороны от неё. Значит, углы и накрест лежащие и равны. Точка лежит на отрезке , поэтому
Что и требовалось доказать.
б) Одно основание уже найдено: . Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны, поэтому
Найдём косинус угла трапеции из равнобедренного треугольника (, ). Высота, проведённая из вершины к основанию , является медианой и делит пополам, поэтому
Пусть . Точка — середина , значит, . Отрезки касательных из точки равны: . Тогда боковая сторона
Проведём высоту трапеции из вершины . В равнобедренной трапеции её основание отсекает от отрезок, равный полуразности оснований:
В полученном прямоугольном треугольнике косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
Значит, .
Ответ: б) , .