Дан ромб ABCD. Точки K и P — середины сторон DC и BC соответственно. Проведены AK и AP таким образом, что они пересекают… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Квадрат, прямоугольник, ромб сложная 2025 развёрнутое

Дан ромб $A B C D .$ Точки $K$ и $P$ — середины сторон $D C$ и $B C$ соответственно. Проведены $A K$ и $A P$ таким образом, что они пересекают диагональ $B D$ в точках $T$ и $Q$ соответственно.

а) Докажите, что сумма площадей треугольников $D K T$ и $QB P$ равна площади треугольника $A QT .$

б) Известно, что в $T K C P Q$ можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если сторона ромба равна $125 .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам: $A O = O C$ , $B O = O D$ .

В треугольнике $A D C$ отрезки $D O$ и $A K$ — медианы, поэтому $T$ — точка пересечения его медиан, и $D T : T O = 2 : 1$ . В треугольнике $A B C$ медианы $B O$ и $A P$ пересекаются в точке $Q$ , поэтому $B Q : QO = 2 : 1$ .

Пусть $O T = x$ . Тогда $D T = 2 x$ , $O D = 3 x$ , а так как $B O = O D = 3 x$ , то $QO = x$ и $B Q = 2 x$ . Получаем

$B Q = QT = T D = 2 x, QO = O T = x .$

Обозначим площадь ромба через $S$ . Диагональ $B D$ делит ромб на два равных треугольника, поэтому $S_{A B D} = \frac{S}{2}$ . Треугольники $A B Q$ , $A QT$ и $A T D$ имеют общую высоту из вершины $A$ , а их основания $B Q$ , $QT$ , $T D$ равны трети $B D$ . Площади треугольников с общей высотой относятся как основания:

$S_{A B Q} = S_{A QT} = S_{A T D} = \frac{1}{3} \cdot \frac{S}{2} = \frac{S}{6} .$

Точка пересечения медиан делит медиану в отношении $2 : 1$ , считая от вершины: $A Q : QP = 2 : 1$ и $A T : T K = 2 : 1$ . Треугольники $QB P$ и $A B Q$ имеют общую высоту из вершины $B$ (их основания $QP$ и $A Q$ лежат на одной прямой $A P$ ), поэтому

$S_{QB P} = \frac{QP}{A Q} \cdot S_{A B Q} = \frac{1}{2} \cdot \frac{S}{6} = \frac{S}{12} .$

Аналогично треугольники $D K T$ и $A T D$ имеют общую высоту из вершины $D$ :

$S_{D K T} = \frac{T K}{A T} \cdot S_{A T D} = \frac{1}{2} \cdot \frac{S}{6} = \frac{S}{12} .$

Складываем:

$S_{QB P} + S_{D K T} = \frac{S}{12} + \frac{S}{12} = \frac{S}{6} = S_{A QT} .$

Что и требовалось доказать.

б) Окружность вписана в пятиугольник $T K C P Q$ . Прямые его сторон $QT$ и $K C$ пересекаются в точке $D$ , поэтому пятиугольник лежит внутри четырёхугольника $Q D C P$ , а окружность касается всех четырёх сторон этого четырёхугольника: $Q D \supset QT$ , $D C \supset K C$ , $C P$ и $P Q$ . Значит, окружность вписана в четырёхугольник $Q D C P$ , и суммы его противоположных сторон равны:

$QP + D C = D Q + P C .$

Кроме того, окружность касается прямых $B D$ , $D C$ , $C B$ и лежит внутри треугольника $B D C$ , поэтому это окружность, вписанная в треугольник $B D C$ .

Подставим известные длины: $D Q = D T + T Q = 4 x$ , $P C = \frac{1}{2} B C = 65$ , $D C = 125$ . Тогда

$QP = D Q + P C - D C = 4 x + 65 - 125 = 4 x - 65 .$

Выразим $QP$ по-другому. Треугольник $D O C$ прямоугольный (диагонали ромба перпендикулярны), $D O = 3 x$ , по теореме Пифагора

$O A = O C = D C^{2} - D O^{2} = 720 - 9 x^{2} .$

Из прямоугольного треугольника $A O Q$ по теореме Пифагора

$A Q = A O^{2} + O Q^{2} = 720 - 9 x^{2} + x^{2} = 720 - 8 x^{2} = 2 180 - 2 x^{2} .$

Так как $A Q : QP = 2 : 1$ , то $QP = \frac{1}{2} A Q = 180 - 2 x^{2}$ . Приравниваем два выражения для $QP$ :

$4 x - 65 = 180 - 2 x^{2} .$

Левая часть должна быть неотрицательной: $4 x ⩾ 65$ . При этом условии возводим обе части в квадрат:

$16 x^{2} - 485 x + 180 = 180 - 2 x^{2} \Rightarrow 18 x^{2} = 485 x \Rightarrow x = \frac{8 5}{3}$

(мы сократили на $x > 0$ ). Проверим условие: $4 x - 65 = \frac{32 5 - 18 5}{3} = \frac{14 5}{3} > 0$ .

Тогда

$B D = 6 x = 165, O C = 720 - 9 \cdot \frac{320}{9} = 400 = 20.$

Найдём площадь и полупериметр треугольника $B D C$ ( $O C$ — его высота, проведённая к стороне $B D$ ):

$S_{B D C} = \frac{1}{2} \cdot B D \cdot O C = \frac{1}{2} \cdot 165 \cdot 20 = 1605,$

$p_{B D C} = \frac{B D + D C + C B}{2} = \frac{16 5 + 12 5 + 12 5}{2} = 205 .$

Радиус вписанной окружности найдём по формуле $S = p r$ :

$r = \frac{S _{B D C}}{p _{B D C}} = \frac{160 5}{20 5} = 8.$

Ответ: б) $8$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18