ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — параллелограммы

Разбор — 3 балла

а) Точки $P$ и $Q$ лежат на сторонах $AD$ и $CD$, смежных с вершиной $D$, поэтому $BPDQ$ — выпуклый четырёхугольник. Его углы $P$ и $Q$ прямые, так как $BP$ и $BQ$ — высоты. Сумма углов четырёхугольника равна $360^{\circ }$, поэтому

$$\angle PBQ=360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }-\angle PDQ=180^{\circ }-\angle ADC.$$

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ }$: $\angle BAD+\angle ADC=180^{\circ }$. Значит,

$$\angle PBQ=\angle BAD.$$

Рассмотрим треугольники $MAB$ и $PBQ$. В них $AM=BP$ и $AB=BQ$ по условию. Точка $M$ лежит на стороне $AD$, поэтому угол между сторонами $AM$ и $AB$ равен $\angle BAD$, то есть равен углу $PBQ$ между сторонами $BP$ и $BQ$. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому равны и их третьи стороны, лежащие против равных углов:

$$BM=PQ.$$

Что и требовалось доказать.

б) Из прямоугольного треугольника $ABP$ по теореме Пифагора

$$AP=\sqrt{A{B}^2-B{P}^2}=\sqrt{100-64}=6,\sin \angle BAD=\frac{BP}{AB}=\frac{4}{5}.$$

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне. Запишем её двумя способами, учитывая $CD=AB=10$:

$$S_{ABCD}=CD\cdot BQ=10\cdot 10=100,S_{ABCD}=AD\cdot BP\Rightarrow AD=\frac{100}{8}=12,5.$$

В прямоугольном треугольнике $BQC$ гипотенуза $BC=AD=12,5$ и катет $BQ=10$. По теореме Пифагора

$$CQ=\sqrt{12,5^2-10^2}=\sqrt{56,25}=7,5,DQ=CD-CQ=10-7,5=2,5.$$

Найдём расстояние $h$ от точки $Q$ до прямой $AD$. Опустим из $Q$ перпендикуляр на $AD$, получим прямоугольный треугольник с гипотенузой $DQ$ и углом $ADC$ при вершине $D$. Так как $\sin \angle ADC=\sin \left(180^{\circ }-\angle BAD\right)=\frac{4}{5}$, то

$$h=DQ\cdot \sin \angle ADC=2,5\cdot \frac{4}{5}=2.$$

Сторона $AP$ треугольника $APQ$ лежит на прямой $AD$, поэтому $h$ — высота этого треугольника, проведённая к стороне $AP$:

$$S_{APQ}=\frac{1}{2}\cdot AP\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 2=6.$$

Ответ: б) $6$.