Дан ромб ABCD. Точки P и Q — середины сторон BC и CD соответственно… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Квадрат, прямоугольник, ромб сложная 2025 развёрнутое

Дан ромб $A B C D$ . Точки $P$ и $Q$ — середины сторон $B C$ и $C D$ соответственно. Прямые $A P$ и $A Q$ пересекают диагональ $B D$ в точках $M$ и $N$ соответственно.

а) Докажите, что сумма площадей треугольников $B M P$ и $D N Q$ равна площади треугольника $A M N$ .

б) Известно, что в $C P M N Q$ можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если сторона ромба равна $125$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Пусть $R$ — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам: $A R = R C$ , $B R = R D$ . В треугольнике $A B C$ отрезки $A P$ и $B R$ — медианы ( $P$ — середина $B C$ , $R$ — середина $A C$ ), поэтому $M$ — точка пересечения медиан треугольника $A B C$ . Аналогично $A Q$ и $D R$ — медианы треугольника $A C D$ , и $N$ — точка пересечения его медиан.

Обозначим площадь ромба через $S$ . Каждая диагональ делит ромб на два равных треугольника, поэтому

$S_{A B C} = S_{A C D} = S_{B C D} = \frac{S}{2} .$

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Применим это к медианам $A P$ и $B R$ треугольника $A B C$ и к медианам $A Q$ и $D R$ треугольника $A C D$ :

$S_{A P C} = S_{B R C} = \frac{1}{2} S_{A B C} = \frac{S}{4}, S_{A QC} = S_{D R C} = \frac{1}{2} S_{A C D} = \frac{S}{4} .$

Отсюда

$S_{A P C Q} = S_{A P C} + S_{A QC} = S_{B R C} + S_{D R C} = S_{B C D} .$

Рисунок к решению

Отрезок $M N$ делит четырёхугольник $A P C Q$ на треугольник $A M N$ и пятиугольник $M P C QN$ . Отрезки $M P$ и $N Q$ отрезают от треугольника $B C D$ треугольники $B M P$ и $D N Q$ , и остаётся тот же пятиугольник $M P C QN$ . Поэтому

$S_{A M N} = S_{A P C Q} - S_{M P C QN} = S_{B C D} - S_{M P C QN} = S_{B M P} + S_{D N Q} .$

Что и требовалось доказать.

б) Пятиугольник $C P M N Q$ лежит внутри четырёхугольника $B C QN$ : он получается из него отрезанием треугольника $B M P$ . Окружность, вписанная в пятиугольник, касается отрезков $C P \subset B C$ , $QC$ , $N Q$ и $M N \subset N B$ , то есть всех четырёх сторон четырёхугольника $B C QN$ , и лежит внутри него. Значит, эта окружность вписана в четырёхугольник $B C QN$ , и суммы его противоположных сторон равны:

$B C + N Q = B N + C Q .$

Кроме того, окружность касается прямых $B C$ , $C D$ , $B D$ и лежит внутри треугольника $B C D$ , поэтому она вписана в треугольник $B C D$ .

Ромб ABCD и окружность, вписанная в пятиугольник CPMNQ

Пусть $A C = 24 x$ , $B D = 24 y$ , тогда $A R = R C = 12 x$ , $B R = R D = 12 y$ . Треугольник $A B R$ прямоугольный, по теореме Пифагора

$(12 x)^{2} + (12 y)^{2} = (125)^{2} \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 5.$

Выразим стороны четырёхугольника $B C QN$ . Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $2 : 1$ , считая от вершины, поэтому $D N = 2 N R$ , $N R = \frac{1}{3} R D = 4 y$ и

$B N = B R + R N = 12 y + 4 y = 16 y .$

Точка $Q$ — середина $C D$ , поэтому $C Q = 65$ , а $B C = 125$ . По тому же свойству медиан $N Q = \frac{1}{2} A N$ . Из прямоугольного треугольника $A R N$ по теореме Пифагора, учитывая $x^{2} = 5 - y^{2}$ :

$A N = (12 x)^{2} + (4 y)^{2} = 4 9 x^{2} + y^{2} = 4 45 - 8 y^{2}, N Q = 2 45 - 8 y^{2} .$

Рисунок к решению

Подставим найденные длины в равенство сумм противоположных сторон:

$125 + 2 45 - 8 y^{2} = 16 y + 65 \Leftrightarrow 45 - 8 y^{2} = 8 y - 35 .$

Решим это иррациональное уравнение равносильным переходом к системе:

${8 y - 35 ⩾ 0, 45 - 8 y^{2} = 64 y^{2} - 485 y + 45.$

Второе уравнение приводится к виду $72 y^{2} = 485 y$ , то есть $24 y (3 y - 25) = 0$ . Так как $y > 0$ , получаем $y = \frac{2 5}{3}$ . Условие системы выполнено: $8 y - 35 = \frac{16 5 - 9 5}{3} = \frac{7 5}{3} > 0$ .

Тогда

$B D = 24 y = 165, x^{2} = 5 - \frac{20}{9} = \frac{25}{9}, R C = 12 x = 12 \cdot \frac{5}{3} = 20.$

Искомая окружность вписана в треугольник $B C D$ . Его высота, проведённая к стороне $B D$ , — отрезок $R C$ , поэтому

$S_{B C D} = \frac{1}{2} \cdot B D \cdot R C = \frac{1}{2} \cdot 165 \cdot 20 = 1605,$

$p_{B C D} = \frac{B D + B C + C D}{2} = \frac{16 5 + 12 5 + 12 5}{2} = 205 .$

По формуле $S = p r$

$r = \frac{S _{B C D}}{p _{B C D}} = \frac{160 5}{20 5} = 8.$

Ответ: б) $8$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18