ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

а) По условию $AD=AB$, поэтому треугольник $ABD$ равнобедренный с основанием $BD$, и углы при основании равны:

$$\angle ABD=\angle ADB.$$

Точки $D$, $A$, $C$ лежат на одной прямой, причём $A$ — между $D$ и $C$. Прямые $AM$ и $BD$ параллельны, $DC$ — секущая, точки $M$ и $B$ лежат по одну сторону от неё. Значит, углы $CAM$ и $CDB$ соответственные и равны:

$$\angle CAM=\angle CDB=\angle ADB.$$

Для тех же параллельных прямых и секущей $AB$ углы $MAB$ и $ABD$ накрест лежащие, поэтому

$$\angle MAB=\angle ABD.$$

Собираем цепочку равенств:

$$\angle MAB=\angle ABD=\angle ADB=\angle CAM.$$

Луч $AM$ делит угол $BAC$ пополам, а точка $M$ лежит на стороне $BC$. Значит, $AM$ — биссектриса треугольника $ABC$. Что и требовалось доказать.

б) Заметим, что стороны треугольника пропорциональны числам $3$, $4$, $5$:

$$AC=6\cdot 5,BC=6\cdot 3,AB=6\cdot 4.$$

Проверим равенство из теоремы Пифагора:

$$A{B}^2+B{C}^2=576+324=900=A{C}^2.$$

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом $B$.

По пункту а) $AM$ — биссектриса, а биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$$\frac{BM}{MC}=\frac{AB}{AC}=\frac{24}{30}=\frac{4}{5}.$$

Так как $BM+MC=BC=18$, получаем

$$MC=\frac{5}{9}\cdot 18=10,BM=8.$$

Катет $AB$ перпендикулярен прямой $BC$, поэтому он служит высотой треугольника $AMC$, проведённой к стороне $MC$:

$$S_{AMC}=\frac{1}{2}\cdot MC\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 24=120.$$

Треугольники $DBC$ и $AMC$ подобны по двум углам: угол $C$ у них общий, а $\angle CDB=\angle CAM$ (это доказано в пункте а)). Коэффициент подобия равен

$$k=\frac{BC}{MC}=\frac{18}{10}=\frac{9}{5}.$$

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

$$S_{DBC}=k^2\cdot S_{AMC}=\frac{81}{25}\cdot 120=388,8.$$

Четырёхугольник $AMBD$ получается из треугольника $DBC$, если отрезать от него треугольник $AMC$:

$$S_{AMBD}=S_{DBC}-S_{AMC}=388,8-120=268,8.$$

Ответ: б) $268,8$.