ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Отрезки $OB$ и $OC$ равны как радиусы описанной окружности, поэтому треугольник $OBC$ равнобедренный и $\angle OBC=\angle OCB$. Обозначим эти углы через $\alpha$. По условию

$$\angle BAC=\angle OBC+\angle OCB=2\alpha .$$

Треугольник $ABC$ остроугольный, поэтому центр $O$ лежит внутри него, по ту же сторону от $BC$, что и вершина $A$. Центральный угол $BOC$ и вписанный угол $BAC$ опираются на одну дугу $BC$, поэтому центральный угол вдвое больше:

$$\angle BOC=2\angle BAC=4\alpha .$$

По теореме о сумме углов треугольника $OBC$

$$4\alpha +\alpha +\alpha =180^{\circ }\Rightarrow \alpha =30^{\circ },$$

откуда $\angle BAC=60^{\circ }$ и $\angle BOC=120^{\circ }$.

Центр $I$ вписанной окружности — точка пересечения биссектрис, поэтому $\angle IBC=\frac{1}{2}\angle ABC$ и $\angle ICB=\frac{1}{2}\angle ACB$. По теореме о сумме углов треугольника $ABC$ имеем $\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$. Тогда из треугольника $BIC$

$$\angle BIC=180^{\circ }-\frac{\angle ABC+\angle ACB}{2}=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }.$$

Итак, $\angle BIC=\angle BOC=120^{\circ }$, причём точки $I$ и $O$ лежат по одну сторону от прямой $BC$ (обе внутри треугольника). Точки, из которых отрезок $BC$ виден под одним и тем же углом и которые лежат по одну сторону от $BC$, находятся на одной дуге окружности, проходящей через $B$ и $C$. Значит, точки $B$, $C$, $O$, $I$ лежат на одной окружности, то есть $I$ лежит на окружности, описанной около треугольника $BOC$. Что и требовалось доказать.

б) Обозначим окружность, описанную около треугольника $BOC$, через $\omega$. По условию $\angle ABC=55^{\circ }$, тогда

$$\angle ACB=180^{\circ }-60^{\circ }-55^{\circ }=65^{\circ }.$$

Пусть $B_1$ и $C_1$ — основания высот, проведённых из вершин $B$ и $C$. В остроугольном треугольнике они лежат на сторонах $AC$ и $AB$. В четырёхугольнике $A{C}_{1}H{B}_1$ углы $C_1$ и $B_1$ прямые, их сумма равна $180^{\circ }$, поэтому около него можно описать окружность. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180^{\circ }$:

$$\angle C_{1}H{B}_1=180^{\circ }-\angle B_{1}A{C}_1=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }.$$

Угол $BHC$ вертикален углу $C_{1}H{B}_1$, поэтому $\angle BHC=120^{\circ }=\angle BOC$. Точка $H$ лежит внутри треугольника, то есть по ту же сторону от $BC$, что и $O$. Значит, по тому же признаку, что и в пункте а), точка $H$ тоже лежит на окружности $\omega$. Итак, на $\omega$ лежат пять точек: $B$, $C$, $O$, $I$, $H$.

Выясним, в каком порядке они идут по окружности. Найдём углы между лучом $CB$ и лучами $CO$, $CI$, $CH$:

$$\angle BCO=\alpha =30^{\circ },\angle BCI=\frac{65^{\circ }}{2}=32,5^{\circ },\angle BCH=\angle BC{C}_1=90^{\circ }-\angle ABC=35^{\circ }.$$

Последнее равенство следует из прямоугольного треугольника $BC{C}_1$. Точки $O$, $I$, $H$ лежат на $\omega$ по одну сторону от $BC$, и для каждой такой точки $X$ вписанный угол $BCX$ равен половине дуги $BX$, не содержащей точку $C$. Значит, эти дуги равны $60^{\circ }$, $65^{\circ }$ и $70^{\circ }$, и точки идут по окружности в порядке $B$, $O$, $I$, $H$, $C$.

Следовательно, четырёхугольник $OIHC$ вписан в $\omega$, и сумма его противоположных углов $I$ и $C$ равна $180^{\circ }$. Найдём угол $C$ этого четырёхугольника:

$$\angle OCH=\angle BCH-\angle BCO=35^{\circ }-30^{\circ }=5^{\circ }.$$

Тогда

$$\angle OIH=180^{\circ }-\angle OCH=180^{\circ }-5^{\circ }=175^{\circ }.$$

Ответ: б) $175^{\circ }$.