В тупоугольном треугольнике ABC угол C тупой. Точка P лежит вне треугольника ABC. BP и CP — перпендикуляры к сторонам AB и AC… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Треугольники средняя 2026 развёрнутое

В тупоугольном треугольнике $A B C$ угол $C$ тупой. Точка $P$ лежит вне треугольника $A B C .$ $B P$ и $C P$ — перпендикуляры к сторонам $A B$ и $A C$ соответственно, причём $C P$ пересекает сторону $A B .$ Высота $C H$ треугольника $A C P$ пересекает отрезок $A B$ в точке $K .$

a) Докажите, что острые углы $A B C$ и $A C H$ равны.

б) Найдите длину стороны $A C,$ если $A K = 10,$ $B K = 30.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) По условию $∠ A B P = ∠ A C P = 9 0^{\circ}$ . Точки $B$ и $C$ видят отрезок $A P$ под прямым углом, поэтому обе лежат на окружности с диаметром $A P$ . Значит, около четырёхугольника $A C B P$ можно описать окружность.

Выясним, как расположены точки $B$ и $P$ относительно прямой $A C$ . По условию отрезок $C P$ пересекает сторону $A B$ в некоторой точке $X$ . Прямая $C P$ перпендикулярна $A C$ и пересекает прямую $A C$ только в точке $C$ , поэтому $X \neq = A$ . Точка $X$ лежит на отрезке $A B$ , значит, по ту же сторону от прямой $A C$ , что и $B$ . Точка $P$ лежит на луче $C X$ , выходящем из точки $C$ прямой $A C$ , значит, по ту же сторону от $A C$ , что и $X$ . Итак, $B$ и $P$ лежат по одну сторону от прямой $A C$ .

Вписанные углы $A B C$ и $A P C$ опираются на одну и ту же дугу $A C$ (их вершины лежат по одну сторону от хорды $A C$ ), поэтому

$∠ A B C = ∠ A P C .$

Треугольник $A C P$ прямоугольный с прямым углом $C$ , $C H$ — его высота, проведённая к гипотенузе $A P$ , поэтому точка $H$ лежит на отрезке $A P$ . Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $9 0^{\circ}$ . Применим это к треугольникам $A C H$ и $A C P$ :

$∠ A C H = 9 0^{\circ} - ∠ C A H = 9 0^{\circ} - ∠ C A P = ∠ A P C .$

Получаем $∠ A C H = ∠ A P C = ∠ A B C$ . Угол $A B C$ острый, так как тупой угол треугольника $A B C$ — это угол $C$ . Что и требовалось доказать.

б) Прямая $A B$ проходит через вершину $A$ треугольника $A C P$ и пересекает его сторону $C P$ в точке $X$ . Отрезки $A X$ и $C H$ проведены из разных вершин треугольника $A C P$ к противоположным сторонам, поэтому они пересекаются внутри треугольника. Значит, точка $K$ лежит и на отрезке $C H$ , и на стороне $A B$ , а луч $C K$ совпадает с лучом $C H$ :

$∠ A C K = ∠ A C H = ∠ A B C .$

Рассмотрим треугольники $A K C$ и $A C B$ . Угол $A$ у них общий, а $∠ A C K = ∠ A B C$ по доказанному. Значит, треугольники подобны по двум углам, причём вершине $K$ соответствует вершина $C$ , а вершине $C$ — вершина $B$ . Запишем отношение соответственных сторон:

$\frac{A K}{A C} = \frac{A C}{A B} \Rightarrow A C^{2} = A K \cdot A B .$

Точка $K$ лежит на стороне $A B$ , поэтому $A B = A K + K B = 10 + 30 = 40$ . Тогда

$A C^{2} = 10 \cdot 40 = 400, A C = 20.$

Ответ: б) $20$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18