Дана трапеция ABCD с большим основанием AD, вписанная в окружность. Продолжение высоты трапеции BH пересекает окружность в точке… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Трапеции сложная 2021 развёрнутое

Дана трапеция $A B C D$ с большим основанием $A D,$ вписанная в окружность. Продолжение высоты трапеции $B H$ пересекает окружность в точке $K .$

а) Докажите, что отрезки $A C$ и $A K$ перпендикулярны.

б) Найдите $A D,$ если радиус описанной окружности равен 10, угол $B A C$ составляет $3 0^{\circ},$ отношение площадей $B C N H$ к $N K H$ равно 24, где $N$ — точка пересечения отрезков $A D$ и $C K .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Изобразим окружность, вписанную в неё трапецию $A B C D$ с верхним основанием $B C$ и нижним $A D$ , высоту $B H$ и её продолжение до точки $K$ на окружности; проведём отрезки $A C$ , $A K$ и $C K$ .

$B H$ — высота трапеции, поэтому $B K ⊥ A D$ , а так как $B C ∥ A D$ , то и $B K ⊥ B C$ . Значит, вписанный угол $K B C$ прямой. Вписанный прямой угол опирается на диаметр, поэтому $C K$ — диаметр описанной окружности.

Точка $A$ лежит на той же окружности, и вписанный угол $K A C$ опирается на диаметр $C K$ , поэтому $∠ K A C = 9 0^{\circ}$ , то есть $A C ⊥ A K$ . Что и требовалось доказать.

б) Вписанные углы $B K C$ и $B A C$ опираются на одну дугу $B C$ , а точки $A$ и $K$ лежат по одну сторону от прямой $B C$ . Поэтому

$∠ B K C = ∠ B A C = 3 0^{\circ} .$

Треугольник $K B C$ прямоугольный ( $∠ K B C = 9 0^{\circ}$ ) с гипотенузой $C K = 2 R = 20$ . Катет против угла $3 0^{\circ}$ равен половине гипотенузы, второй катет найдём через косинус:

$B C = \frac{1}{2} C K = 10, B K = C K \cdot cos 3 0^{\circ} = 20 \cdot \frac{3}{2} = 103 .$

Точка $N$ лежит на отрезке $C K$ , а $H$ — на отрезке $B K$ . Треугольники $N K H$ и $C K B$ подобны по двум углам: угол $K$ общий, $∠ K H N = ∠ K B C = 9 0^{\circ}$ . Четырёхугольник $B C N H$ и треугольник $N K H$ вместе составляют треугольник $C K B$ , поэтому

$\frac{S _{C K B}}{S _{N K H}} = \frac{S _{B C N H} + S _{N K H}}{S _{N K H}} = 24 + 1 = 25.$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, значит, коэффициент равен $5$ :

$\frac{B K}{H K} = 5, H K = \frac{10 3}{5} = 23, B H = B K - H K = 83 .$

Трапеция, вписанная в окружность, равнобедренная. В равнобедренной трапеции высота, проведённая из вершины меньшего основания, делит большее основание на отрезки

$A H = \frac{A D - B C}{2}, H D = \frac{A D + B C}{2} .$

Хорды $A D$ и $B K$ пересекаются в точке $H$ . По теореме о пересекающихся хордах произведения их отрезков равны:

$A H \cdot H D = B H \cdot H K,$

$\frac{A D - B C}{2} \cdot \frac{A D + B C}{2} = 83 \cdot 23 = 48.$

Отсюда

$A D^{2} - B C^{2} = 192, A D^{2} = 192 + 100 = 292, A D = 292 = 273 .$

Ответ: б) $273$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18