ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Построим треугольник $ABC$, отметим середины $N$ и $P$ сторон $AB$ и $BC$, проведём среднюю линию $NP$ и вписанную окружность, касающуюся отрезка $NP$.

Отрезок $NP$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, то есть является средней линией треугольника. Поэтому

$$NP\parallel AC,NP=\frac{1}{2}AC.$$

Вписанная окружность касается двух параллельных прямых $AC$ и $NP$, значит, она целиком лежит в полосе между ними. Внутри треугольника эта полоса — трапеция $ANPC$. Поэтому окружность находится внутри трапеции $ANPC$ и касается всех четырёх её сторон: $AN$ (часть $AB$), $NP$, $PC$ (часть $BC$) и $AC$. Итак, в четырёхугольник $ANPC$ вписана окружность.

По свойству описанного четырёхугольника суммы его противоположных сторон равны:

$$NP+AC=AN+PC.$$

Пусть $AC=2a$, тогда $NP=a$. Так как $N$ и $P$ — середины сторон, $AB=2AN$ и $BC=2PC$. Из равенства выше

$$AN+PC=a+2a=3a\Rightarrow AB+BC=2(AN+PC)=6a.$$

Тогда периметр

$$P_{ABC}=AB+BC+AC=6a+2a=8a=4AC.$$

Что и требовалось доказать.

б) По пункту а) $4AC=24$, откуда $AC=6$ и

$$AB+BC=24-6=18.$$

Обозначим $AB=x$, тогда $BC=18-x$. По теореме косинусов в треугольнике $ABC$, учитывая $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$:

$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \angle BAC,$$

$$(18-x{)}^2=x^2+36-2\cdot x\cdot 6\cdot \frac{1}{2}=x^2+36-6x.$$

Раскроем скобки и приведём подобные:

$$324-36x+x^2=x^2+36-6x\Rightarrow 30x=288\Rightarrow x=\frac{48}{5}.$$

Тогда $AB=\frac{48}{5}$, $BC=18-\frac{48}{5}=\frac{42}{5}$. Площадь треугольника найдём через две стороны и угол между ними, $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin \angle BAC=\frac{1}{2}\cdot \frac{48}{5}\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{72\sqrt{3}}{5}.$$

Ответ: б) $\frac{72\sqrt{3}}{5}$.