В треугольнике ABC точки A₁, B₁ и C₁ — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC=120°, ∠BCA=45°. а) Докажите… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности средняя развёрнутое

В треугольнике $A B C$ точки $A_{1}$ , $B_{1}$ и $C_{1}$ — середины сторон $B C$ , $A C$ и $A B$ соответственно, $A H$ — высота, $∠ B A C = 12 0^{\circ}$ , $∠ B C A = 4 5^{\circ}$ .

а) Докажите, что точки $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ и $H$ лежат на одной окружности.

б) Найдите $A_{1} H$ , если $B C = 63$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Найдём третий угол треугольника: $∠ A B C = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 1 5^{\circ}$ . Углы $B$ и $C$ острые, поэтому основание высоты $H$ лежит на стороне $B C$ строго между $B$ и $C$ .

Окружность через середины сторон и основание высоты H

Уточним, где лежит $H$ . Против меньшего угла лежит меньшая сторона, а $∠ B < ∠ C$ , поэтому $A C < A B$ . Из прямоугольных треугольников $A H C$ и $A H B$ по теореме Пифагора

$C H^{2} = A C^{2} - A H^{2} < A B^{2} - A H^{2} = B H^{2},$

то есть $C H < B H$ и $C H < \frac{1}{2} B C = C A_{1}$ . Значит, $H$ лежит между $C$ и $A_{1}$ , и $H A_{1} = C A_{1} - C H < \frac{1}{2} B C$ .

Отрезок $B_{1} C_{1}$ — средняя линия треугольника $A B C$ , поэтому $B_{1} C_{1} ∥ B C$ и $B_{1} C_{1} = \frac{1}{2} B C$ . Точки $H$ и $A_{1}$ лежат на прямой $B C$ , и $H A_{1} < B_{1} C_{1}$ . Значит, четырёхугольник $H A_{1} C_{1} B_{1}$ — трапеция с основаниями $H A_{1}$ и $B_{1} C_{1}$ (не параллелограмм).

Найдём диагонали этой трапеции. Отрезок $H C_{1}$ — медиана прямоугольного треугольника $A H B$ , проведённая к гипотенузе $A B$ , поэтому $H C_{1} = \frac{1}{2} A B$ . Отрезок $A_{1} B_{1}$ — средняя линия треугольника $A B C$ , параллельная $A B$ , поэтому $A_{1} B_{1} = \frac{1}{2} A B$ . Итак,

$H C_{1} = A_{1} B_{1} .$

Трапеция с равными диагоналями равнобедренная, а около равнобедренной трапеции можно описать окружность. Значит, точки $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ и $H$ лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.

б) Найдём $A C$ по теореме синусов в треугольнике $A B C$ :

$\frac{A C}{sin ∠ A B C} = \frac{B C}{sin ∠ B A C} \Rightarrow A C = \frac{6 3 \cdot sin 1 5 ^{\circ}}{sin 12 0 ^{\circ}} = \frac{6 3 \cdot sin 1 5 ^{\circ}}{\frac{3}{2}} = 12 sin 1 5^{\circ} .$

По формуле синуса разности

$sin 1 5^{\circ} = sin (4 5^{\circ} - 3 0^{\circ}) = \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6 - 2}{4},$

поэтому $A C = 3 (6 - 2)$ .

Из прямоугольного треугольника $A H C$ с углом $4 5^{\circ}$ при вершине $C$ :

$C H = A C \cdot cos 4 5^{\circ} = 3 (6 - 2) \cdot \frac{2}{2} = \frac{3 ( 2 3 - 2 )}{2} = 33 - 3.$

Точка $A_{1}$ — середина $B C$ , поэтому $C A_{1} = 33$ . По пункту а) $H$ лежит между $C$ и $A_{1}$ , значит,

$A_{1} H = C A_{1} - C H = 33 - (33 - 3) = 3.$

Ответ: б) $3$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18