ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Разбор — 3 балла

а) Изобразим квадрат $ABCD$, отметим середину $E$ стороны $BC$, проведём отрезки $AE$, $EC$ и диагональ $AC$, а также серединные перпендикуляры к $AE$ и $EC$, пересекающиеся в точке $O$.

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов. Точка $O$ лежит на серединных перпендикулярах к $AE$ и $EC$, поэтому

$$OA=OE=OC.$$

Значит, $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $AEC$.

Диагональ квадрата делит его прямой угол пополам, поэтому $\angle ACE=\angle ACB=45^{\circ }$. Угол $ACE$ вписан в эту окружность и опирается на дугу $AE$, не содержащую точку $C$. Угол $AOE$ — центральный и опирается на ту же дугу (вписанный угол острый, поэтому эта дуга меньше полуокружности). Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:

$$\angle AOE=2\angle ACE=2\cdot 45^{\circ }=90^{\circ }.$$

Что и требовалось доказать.

б) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной окружности. Поэтому серединный перпендикуляр к стороне $AC$ треугольника $AEC$ тоже проходит через $O$.

Диагонали квадрата перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому серединный перпендикуляр к диагонали $AC$ — это прямая $BD$. Значит, точка $O$ лежит на диагонали $BD$.

Пусть $L$ — середина отрезка $EC$. Серединный перпендикуляр к $EC$ проходит через $L$ перпендикулярно $BC$, и на нём лежит точка $O$. Так как $LO\perp BC$ и $CD\perp BC$, то $LO\parallel CD$.

Обозначим сторону квадрата $4a$. Тогда

$$BE=EC=2a,EL=LC=a,BL=BE+EL=3a.$$

Параллельные прямые $LO$ и $CD$ пересекают стороны угла $CBD$, поэтому по теореме о пропорциональных отрезках

$$\frac{BO}{OD}=\frac{BL}{LC}=\frac{3a}{a}=3.$$

Ответ: б) $3:1$.