ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Точка $O$ — центр вписанной окружности, то есть точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$. Значит, $BO$ и $CO$ — биссектрисы углов $B$ и $C$. Обозначим

$$\angle ABO=\angle OBC=x,\angle BCO=\angle OCA=y.$$

Углы $ACP$ и $ABP$ вписаны в описанную окружность и опираются на одну дугу $AP$, поэтому они равны: $\angle ACP=\angle ABP=x$.

Точка $O$ лежит внутри треугольника, а точка $P$ — на дуге $AC$, не содержащей $B$, то есть по другую сторону от прямой $AC$. Поэтому луч $CA$ проходит внутри угла $OCP$ и

$$\angle OCP=\angle OCA+\angle ACP=y+x.$$

Точка $P$ лежит на продолжении отрезка $BO$ за точку $O$, поэтому угол $POC$ — внешний угол треугольника $BOC$. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним:

$$\angle POC=\angle OBC+\angle OCB=x+y.$$

Итак, $\angle POC=\angle OCP$. В треугольнике $OCP$ против равных углов лежат равные стороны, поэтому $OP=CP$. Что и требовалось доказать.

б) Пусть $PH$ — перпендикуляр к прямой $AC$, по условию $PH=24$. Так как $BP$ — биссектриса угла $ABC$, то

$$x=\frac{1}{2}\angle ABC=30^{\circ }.$$

Вписанные углы $PAC$ и $PBC$ опираются на одну дугу $PC$, поэтому $\angle PAC=\angle PBC=x=30^{\circ }$. Аналогично $\angle PCA=\angle PBA=30^{\circ }$ (это мы уже видели в пункте а), поэтому треугольник $APC$ равнобедренный и основание $H$ перпендикуляра лежит на отрезке $AC$.

В прямоугольном треугольнике $APH$ катет $PH$ лежит против угла $30^{\circ }$, поэтому гипотенуза вдвое больше:

$$AP=\frac{PH}{\sin 30^{\circ }}=\frac{24}{\frac{1}{2}}=48.$$

Треугольники $ABC$ и $APC$ вписаны в одну и ту же окружность, поэтому радиус $R$ у них общий. По теореме синусов в треугольнике $APC$:

$$2R=\frac{AP}{\sin \angle ACP}=\frac{48}{\frac{1}{2}}=96,R=48.$$

Ответ: б) $48$.