ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Две окружности касаются внутренним образом в точке $A,$ причем меньшая окружность проходит через центр $O$ большей. Диаметр $BC$ большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке $M,$ отличной от точки $A.$ Лучи $AO$ и $AM$ вторично пересекают большую окружность в точках $P$ и $Q$ соответственно. Точка $C$ лежит на дуге $AQ$ большей окружности, не содержащей точку $P.$

а) Докажите, что прямые $PQ$ и $BC$ параллельны.

б) Известно, что $\sin \angle AOC=\frac{1}{4}\sqrt{15},$ прямые $PC$ и $AQ$ пересекаются в точке $K.$ Найдите $QK:KA.$

Дан равнобедренный треугольник $ABC.$ Окружность с центром $O$ на основании $BC$ касается боковых сторон $AB$ и $AC.$ Касательная к этой окружности пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно.

а) Докажите, что отрезки $OM$ и $ON$ разбивают четырёхугольник $BMNC$ на три подобных треугольника.

б) Найдите длину отрезка $AM,$ если треугольник $ABC$ равносторонний, $AB=20$ и $AN:NC=2:3.$

В тупоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ тупой. Точка $P$ лежит вне треугольника $ABC$. $BP$ и $CP$ — перпендикуляры к сторонам $AB$ и $AC$ соответственно, причём $CP$ пересекает сторону $AB$. Высота $CH$ треугольника $ACP$ пересекает отрезок $AB$ в точке $K$.

а) Докажите, что острые углы $ABC$ и $ACH$ равны.

б) Найдите длину стороны $AC$, если $AK=6$, $BK=18$.