Дан прямоугольник ABCD. Известно, что CD=3AD. Точка M — середина его стороны AD. На стороне CD отмечена точка N. Известно, что… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Квадрат, прямоугольник, ромб средняя 2025 развёрнутое

Дан прямоугольник $A B C D$ . Известно, что $C D = 3 A D$ . Точка $M$ — середина его стороны $A D$ . На стороне $C D$ отмечена точка $N$ . Известно, что $C N = 2 N D$ . Точка $K$ — середина отрезка $C M$ .

a) Докажите, что точки $B, N$ и $K$ лежат на одной прямой.

б) Найдите длину $K N$ , если известно, что $A D = 4$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Пусть $A D = 2 x$ , тогда $C D = 3 \cdot 2 x = 6 x$ . Точка $M$ — середина $A D$ , поэтому $A M = M D = x$ . По условию $C N = 2 N D$ , значит, $N D = \frac{1}{3} C D = 2 x$ и $C N = 4 x$ .

Прямоугольник ABCD, точки B, K, N на одной прямой

Пусть прямая $K N$ пересекает прямую $A D$ в точке $T$ . Прямая $K N$ пересекает стороны $C M$ и $C D$ треугольника $C M D$ во внутренних точках, поэтому третью сторону $M D$ она пересекает на продолжении. Запишем теорему Менелая для треугольника $C M D$ и секущей $K N T$ :

$\frac{M K}{K C} \cdot \frac{C N}{N D} \cdot \frac{D T}{T M} = 1 \Rightarrow 1 \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{D T}{T M} = 1 \Rightarrow T M = 2 D T .$

Так как $D T < T M$ , точка $T$ лежит на продолжении отрезка $M D$ за точку $D$ , и $T M = M D + D T$ . Отсюда $x + D T = 2 D T$ , то есть

$D T = x, M T = 2 x = B C .$

Пусть прямая $T K$ пересекает прямую $B C$ в точке $B^{'}$ . Сравним треугольники $B^{'} C K$ и $T M K$ :

$C K = K M$ , так как $K$ — середина $C M$ ;
$∠ B^{'} K C = ∠ T K M$ как вертикальные;
$∠ B^{'} C K = ∠ T M K$ как накрест лежащие при параллельных прямых $B C$ , $A D$ и секущей $C M$ .

По стороне и двум прилежащим к ней углам треугольники равны, поэтому $C B^{'} = M T = 2 x$ .

Точки $T$ и $B^{'}$ лежат на одной прямой по разные стороны от точки $K$ (углы при $K$ вертикальные), то есть по разные стороны от прямой $C M$ . Точка $T$ лежит с той же стороны от $C M$ , что и $D$ , значит, $B^{'}$ — с той же стороны, что и $B$ . Значит, $B^{'}$ лежит на луче $C B$ на расстоянии $2 x = B C$ от точки $C$ , то есть $B^{'}$ совпадает с $B$ .

Итак, прямая $K N$ проходит через точку $B$ : точки $B$ , $N$ и $K$ лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Рисунок к решению

б) Так как $A D = 2 x = 4$ , то $x = 2$ . Тогда $A B = C D = 6 x = 12$ , $D T = x = 2$ и

$A T = A D + D T = 4 + 2 = 6.$

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $B A T$ :

$B T = A B^{2} + A T^{2} = 144 + 36 = 180 = 65 .$

Из равенства треугольников в пункте а) $B K = K T$ , то есть $K$ — середина $B T$ :

$K T = \frac{1}{2} B T = 35 .$

Треугольники $B C N$ и $T D N$ подобны по двум углам: $∠ B N C = ∠ T N D$ как вертикальные, $∠ B C N = ∠ T D N = 9 0^{\circ}$ . Коэффициент подобия

$\frac{N T}{N B} = \frac{N D}{N C} = \frac{2 x}{4 x} = \frac{1}{2} .$

Рисунок к решению

Значит, $N T = \frac{1}{2} B N$ , то есть точка $N$ делит $B T$ в отношении $2 : 1$ и

$N T = \frac{1}{3} B T = \frac{1}{3} \cdot 65 = 25 .$

Точка $N$ лежит между $K$ и $T$ (так как $N T < K T$ ), поэтому

$K N = K T - N T = 35 - 25 = 5 .$

Ответ: б) $5$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18