В трапеции KLMN с основаниями KN и ML провели биссектрисы углов LKN и LMN, которые пересекаются в точке P. Через точку P… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Трапеции сложная 2026 развёрнутое

В трапеции $K L M N$ с основаниями $K N$ и $M L$ провели биссектрисы углов $L K N$ и $L M N,$ которые пересекаются в точке $P .$ Через точку $P$ параллельно прямой $K N$ провели прямую, которая пересекает стороны $L K$ и $M N$ соответственно в точках $A$ и $B .$ При этом $A B = K L .$

а) Докажите, что трапеция $K L M N$ равнобедренная.

б) Найдите $cos ∠ L K N,$ если $K P : P M = 4 : 3,$ $A P : P B = 3 : 2.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Изобразим трапецию $K L M N$ с нижним основанием $K N$ и верхним $L M$ , проведём биссектрисы углов $K$ и $M$ до пересечения в точке $P$ и через $P$ — прямую $A B$ , параллельную основаниям.

Прямая $A B$ параллельна $K N$ , а значит, и $L M$ . Углы $A P K$ и $P K N$ — накрест лежащие при параллельных прямых $A B$ , $K N$ и секущей $K P$ , поэтому они равны. Кроме того, $∠ A K P = ∠ P K N$ , так как $K P$ — биссектриса угла $L K N$ . Значит,

$∠ A K P = ∠ A P K,$

и треугольник $A K P$ равнобедренный: $A K = A P$ .

Аналогично углы $B P M$ и $P M L$ — накрест лежащие при параллельных прямых $A B$ , $L M$ и секущей $M P$ , а $∠ P M L = ∠ P M B$ , так как $M P$ — биссектриса угла $L M N$ . Поэтому $∠ B P M = ∠ B M P$ , треугольник $B P M$ равнобедренный: $B M = B P$ .

Сравним отрезки $K L = K A + A L$ и $A B = A P + P B$ . По условию $A B = K L$ , а $A K = A P$ , поэтому

$A L = P B = B M .$

Параллельные прямые $L M$ , $A B$ и $K N$ отсекают на сторонах $K L$ и $N M$ пропорциональные отрезки (обобщённая теорема Фалеса):

$\frac{A L}{A K} = \frac{B M}{B N} .$

Числители равны, значит, равны и знаменатели: $A K = B N$ . Тогда

$K L = A L + A K = B M + B N = M N,$

то есть боковые стороны трапеции равны и она равнобедренная. Что и требовалось доказать.

б) Обозначим $∠ L M N = 2 α$ и $∠ L K N = 2 β$ . Биссектрисы делят эти углы пополам:

$∠ P M B = ∠ P M L = α, ∠ P K A = ∠ P K N = β .$

В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, поэтому $∠ K L M = ∠ L M N = 2 α$ . Углы $K L M$ и $L K N$ — односторонние при параллельных прямых $L M$ , $K N$ и секущей $K L$ , их сумма равна $18 0^{\circ}$ :

$2 α + 2 β = 18 0^{\circ} \Rightarrow α + β = 9 0^{\circ} .$

Из пункта а) также $∠ A P K = ∠ P K N = β$ и $∠ B P M = ∠ P M L = α$ .

Опустим перпендикуляры $A A_{1} ⊥ K P$ и $B B_{1} ⊥ M P$ . В равнобедренном треугольнике $A K P$ высота $A A_{1}$ , проведённая к основанию, является медианой, поэтому $K A_{1} = A_{1} P = \frac{1}{2} K P$ . Аналогично в равнобедренном треугольнике $B P M$ высота $B B_{1}$ — медиана: $P B_{1} = B_{1} M = \frac{1}{2} P M$ .

Сравним прямоугольные треугольники $P A A_{1}$ и $B P B_{1}$ . В первом $∠ A P A_{1} = β$ , поэтому $∠ P A A_{1} = 9 0^{\circ} - β = α$ . Во втором $∠ B P B_{1} = α$ , поэтому $∠ P B B_{1} = 9 0^{\circ} - α = β$ . Треугольники подобны по двум углам, причём $P \leftrightarrow B$ (угол $β$ ), $A \leftrightarrow P$ (угол $α$ ), $A_{1} \leftrightarrow B_{1}$ . Отношение гипотенуз $A P : P B = 3 : 2$ , поэтому

$\frac{A _{1} P}{B _{1} B} = \frac{A A _{1}}{P B _{1}} = \frac{A P}{P B} = \frac{3}{2} .$

Пусть $K P = 4 t$ , $P M = 3 t$ . Тогда

$A_{1} P = \frac{1}{2} K P = 2 t, P B_{1} = \frac{1}{2} P M = \frac{3 t}{2}, B B_{1} = \frac{2}{3} A_{1} P = \frac{4 t}{3} .$

Из прямоугольного треугольника $P B B_{1}$ с углом $α$ при вершине $P$ :

$tg α = \frac{B B _{1}}{P B _{1}} = \frac{4 t /3}{3 t /2} = \frac{8}{9} .$

Найдём $cos 2 α$ через тангенс:

$cos 2 α = \frac{1 - tg ^{2} α}{1 + tg ^{2} α} = \frac{1 - \frac{64}{81}}{1 + \frac{64}{81}} = \frac{17}{145} .$

Так как $2 β = 18 0^{\circ} - 2 α$ , по формуле приведения

$cos ∠ L K N = cos 2 β = cos (18 0^{\circ} - 2 α) = - cos 2 α = - \frac{17}{145} .$

Ответ: б) $- \frac{17}{145}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18