ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

а) Пусть $O$ — точка пересечения высот, $\angle ABC=\beta$. Треугольник остроугольный, поэтому $O$ лежит внутри треугольника, а основания высот $H$, $N$, $K$ — на сторонах $BC$, $AC$, $AB$.

Рассмотрим четырёхугольник $AKON$. В нём $\angle AKO=90^{\circ }$ (так как $CK\perp AB$) и $\angle ANO=90^{\circ }$ (так как $BN\perp AC$). Сумма противоположных углов равна $180^{\circ }$, поэтому по признаку вписанного четырёхугольника около $AKON$ можно описать окружность.

Углы $KNO$ и $KAO$ вписаны в эту окружность и опираются на одну дугу $KO$, поэтому они равны. Угол $KAO$ — это угол $BAH$. Из прямоугольного треугольника $ABH$ (сумма острых углов равна $90^{\circ }$):

$$\angle KNO=\angle KAO=\angle BAH=90^{\circ }-\beta .$$

Аналогично в четырёхугольнике $CHON$ углы $CHO$ и $CNO$ прямые, поэтому он вписанный. Вписанные углы $HNO$ и $HCO$ опираются на одну дугу $HO$, а угол $HCO$ — это угол $BCK$. Из прямоугольного треугольника $BCK$:

$$\angle HNO=\angle HCO=\angle BCK=90^{\circ }-\beta .$$

Точки $K$ и $H$ лежат по разные стороны от прямой $BN$, поэтому луч $NO$ проходит внутри угла $KNH$ и

$$\angle KNH=\angle KNO+\angle ONH=2(90^{\circ }-\beta )=180^{\circ }-2\beta .$$

По условию $180^{\circ }-2\beta =60^{\circ }$, откуда $\beta =60^{\circ }$, то есть $\angle ABC=60^{\circ }$. Что и требовалось доказать.

б) Из пункта а) $\angle BAH=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ катет $BH$ лежит против угла $30^{\circ }$, поэтому он равен половине гипотенузы:

$$AB=2BH=2\cdot 3=6.$$

Точка $K$ лежит на стороне $AB$, поэтому $BK=AB-AK=6-2=4$.

В прямоугольном треугольнике $BKC$ угол $BCK=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$, катет $BK$ лежит против него, значит,

$$BC=2BK=2\cdot 4=8.$$

По теореме косинусов в треугольнике $ABC$:

$$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 60^{\circ }=36+64-2\cdot 6\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=52,AC=2\sqrt{13}.$$

Найдём площадь треугольника $ABC$ через две стороны и угол между ними:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}.$$

С другой стороны, площадь равна половине произведения стороны $AC$ на проведённую к ней высоту $BN$:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BN\Rightarrow BN=\frac{2S_{ABC}}{AC}=\frac{24\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}=\frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{13}}=\frac{12\sqrt{39}}{13}.$$

Ответ: б) $\frac{12\sqrt{39}}{13}$.