ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

а) По условию $AB$ и $BC$ — боковые стороны, то есть $AB=BC$, а $AC$ — основание. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, обозначим их

$$\angle BAC=\angle BCA=\alpha .$$

Треугольник остроугольный, поэтому основание высоты $CH$ лежит на стороне $AB$, между точками $A$ и $B$.

Окружность касается отрезка $BH$ (он часть стороны $AB$), стороны $BC$ и высоты $CH$, то есть всех трёх сторон треугольника $BHC$. Значит, это вписанная окружность треугольника $BHC$, а её центр $O$ — точка пересечения биссектрис этого треугольника.

Найдём углы треугольника $BHC$ при вершинах $H$ и $C$. Угол $BHC$ прямой, так как $CH$ — высота. Треугольник $AHC$ прямоугольный ($\angle AHC=90^{\circ }$), сумма его острых углов равна $90^{\circ }$:

$$\angle ACH=90^{\circ }-\alpha .$$

Луч $CH$ проходит внутри угла $ACB$, поэтому

$$\angle BCH=\angle BCA-\angle ACH=\alpha -(90^{\circ }-\alpha )=2\alpha -90^{\circ }.$$

Отрезки $HO$ и $CO$ лежат на биссектрисах углов $BHC$ и $BCH$, поэтому

$$\angle OHC=\frac{1}{2}\angle BHC=45^{\circ },\angle OCH=\frac{1}{2}\angle BCH=\alpha -45^{\circ }.$$

По теореме о сумме углов треугольника $COH$:

$$\angle COH=180^{\circ }-\angle OHC-\angle OCH=180^{\circ }-45^{\circ }-(\alpha -45^{\circ })=180^{\circ }-\alpha .$$

Рассмотрим четырёхугольник $AHOC$. Его углы при противоположных вершинах $A$ и $O$ равны $\angle HAC=\alpha$ и $\angle HOC=180^{\circ }-\alpha$, их сумма равна $180^{\circ }$. По признаку вписанного четырёхугольника около $AHOC$ можно описать окружность.

Углы $AOC$ и $AHC$ вписаны в эту окружность и опираются на одну и ту же дугу $AC$, причём вершины $H$ и $O$ лежат по одну сторону от прямой $AC$. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны:

$$\angle AOC=\angle AHC=90^{\circ }.$$

Что и требовалось доказать.

б) Центр окружности, касающейся обеих сторон угла, лежит на биссектрисе этого угла. Окружность касается сторон $BA$ и $BC$ угла $ABC$, поэтому $BO$ — биссектриса угла $ABC$.

Пусть $M$ — середина основания $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана $BM$, проведённая к основанию, является одновременно биссектрисой и высотой. Биссектриса угла $ABC$ единственна, значит, точка $O$ лежит на отрезке $BM$ (точка $O$ лежит внутри треугольника $BHC$, а значит, и внутри треугольника $ABC$).

По пункту а) треугольник $AOC$ прямоугольный с гипотенузой $AC$, а $OM$ — его медиана, проведённая к гипотенузе. Такая медиана равна половине гипотенузы:

$$OM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 16=8.$$

Точка $O$ лежит между $B$ и $M$, поэтому высота треугольника $ABC$, проведённая к основанию, равна

$$BM=BO+OM=7+8=15.$$

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BM=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 15=120.$$

Ответ: б) $120$.