ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Сделаем рисунок: большая окружность радиуса $15$, внутри неё меньшая радиуса $8$, касающаяся её в точке $C$; точка $A$ на большей окружности, точка $B$ на меньшей, $\angle ACB=90^{\circ }$, $AC=BC$; точка $D$ — вторая точка пересечения прямой $AC$ с меньшей окружностью, точка $E$ — прямой $BC$ с большей.

Обе окружности лежат по одну сторону от общей касательной в точке $C$, а меньшая — внутри большей. Поэтому точка $D$ лежит на отрезке $CA$, а точка $B$ — на отрезке $CE$.

Проведём в точке $C$ общую касательную к окружностям и отметим на ней точку $K$, лежащую по другую сторону от прямой $AC$, чем точки $B$ и $E$.

Прямая $CK$ касается большей окружности. Угол $ACK$ между касательной и хордой $AC$ равен половине дуги $AC$, заключённой внутри угла, а вписанный угол $AEC$ опирается на ту же дугу. Поэтому $\angle ACK=\angle AEC$.

Прямая $CK$ касается и меньшей окружности. По той же причине угол $DCK$ между касательной и хордой $CD$ равен вписанному углу $DBC$: $\angle DCK=\angle DBC$.

Точка $D$ лежит на луче $CA$, поэтому $\angle DCK=\angle ACK$. Получаем

$$\angle AEC=\angle ACK=\angle DCK=\angle DBC.$$

Углы $AEC$ и $DBC$ — соответственные при прямых $AE$, $DB$ и секущей $EB$ (точки $A$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой $BC$). Они равны, поэтому $AE\parallel BD$. Что и требовалось доказать.

б) Точка $E$ лежит на луче $CB$, поэтому $\angle ACE=\angle ACB=90^{\circ }$. Этот прямой угол вписан в большую окружность, значит, он опирается на диаметр: $AE=2\cdot 15=30$. Точно так же $\angle BCD=90^{\circ }$ вписан в меньшую окружность, поэтому $BD$ — её диаметр: $BD=2\cdot 8=16$.

Прямоугольные треугольники $ECA$ и $BCD$ подобны по двум углам: $\angle ECA=\angle BCD=90^{\circ }$ и $\angle AEC=\angle DBC$ по пункту а). Вершине $E$ соответствует $B$, вершине $A$ — вершина $D$, поэтому

$$\frac{BC}{EC}=\frac{CD}{CA}=\frac{BD}{EA}=\frac{16}{30}=\frac{8}{15}.$$

Треугольник $ABC$ равнобедренный, $AC=BC$, поэтому

$$\frac{AC}{CE}=\frac{BC}{CE}=\frac{8}{15},CE=\frac{15}{8}AC.$$

Отрезок $AC$ — катет прямоугольного треугольника $ACE$ с гипотенузой $AE=30$. По теореме Пифагора

$$A{C}^2+C{E}^2=A{E}^2\Rightarrow A{C}^2+\frac{225}{64}A{C}^2=900\Rightarrow \frac{289}{64}A{C}^2=900.$$

Отсюда

$$A{C}^2=\frac{900\cdot 64}{289},AC=\frac{30\cdot 8}{17}=\frac{240}{17}.$$

Ответ: б) $\frac{240}{17}$.