ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Сделаем рисунок: прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, середина $M$ гипотенузы $AB$, серединный перпендикуляр $MN$ к $AB$, точка $N$ на катете $BC$, отрезки $AN$ и $CM$.

Точка $N$ лежит на катете $BC$, поэтому $\angle ACN=\angle ACB=90^{\circ }$. Прямая $MN$ перпендикулярна $AB$, поэтому $\angle AMN=90^{\circ }$. Точки $C$ и $M$ видят отрезок $AN$ под прямым углом, значит, они лежат на окружности с диаметром $AN$. Получаем, что точки $A$, $C$, $N$, $M$ лежат на одной окружности.

Точки $A$ и $M$ лежат по одну сторону от прямой $CN$ (то есть от прямой $BC$): отрезок $AM$ — часть отрезка $AB$, который пересекает прямую $BC$ только в точке $B$. Поэтому вписанные углы $CAN$ и $CMN$ опираются на одну и ту же дугу $CN$ и равны:

$$\angle CAN=\angle CMN.$$

Что и требовалось доказать.

б) В треугольнике $ANB$ отрезок $NM$ — медиана и высота, поэтому треугольник равнобедренный: $AN=NB$, и $\angle NAB=\angle NBA$.

Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, поэтому $CM=MB=\frac{AB}{2}$. Треугольник $CMB$ тоже равнобедренный, и $\angle MCB=\angle MBC$.

Точка $N$ лежит на $BC$, а $M$ — на $BA$, поэтому $\angle NBA=\angle MBC=\angle ABC$. Отсюда

$$\angle NAB=\angle ABC=\angle MCB.$$

Треугольники $ANB$ и $CMB$ подобны по двум углам ($\angle NAB=\angle MCB$, угол $B$ общий), причём вершине $A$ соответствует $C$, вершине $N$ — вершина $M$. Значит, $\angle ANB=\angle CMB$ и синусы этих углов равны.

По теореме синусов радиус описанной окружности равен стороне, делённой на удвоенный синус противолежащего угла. Поэтому

$$\frac{R_{ANB}}{R_{CMB}}=\frac{\frac{AB}{2\sin \angle ANB}}{\frac{BC}{2\sin \angle CMB}}=\frac{AB}{BC}.$$

В прямоугольном треугольнике $ABC$ тангенс угла $A$ — отношение противолежащего катета к прилежащему:

$$\mathrm{tg}\angle BAC=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}.$$

Пусть $BC=4x$, $AC=3x$. По теореме Пифагора

$$AB=\sqrt{(3x{)}^2+(4x{)}^2}=5x.$$

Тогда

$$\frac{R_{ANB}}{R_{CMB}}=\frac{AB}{BC}=\frac{5x}{4x}=\frac{5}{4}.$$

Ответ: б) $\frac{5}{4}$.