В параллелограмме ABCD биссектриса угла BAD пересекает сторону BC в точке K, а продолжение стороны DC — в точке P; диагональ AC… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Параллелограммы сложная 2026 развёрнутое

В параллелограмме $A B C D$ биссектриса угла $B A D$ пересекает сторону $B C$ в точке $K,$ а продолжение стороны $D C$ — в точке $P;$ диагональ $A C$ является биссектрисой угла $K A D .$

а) Докажите, что $P C^{2} = C D \cdot P K .$

б) Найдите $A C : A P,$ если $A B : B C = 3 : 8.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Сделаем рисунок: параллелограмм $A B C D$ , биссектриса угла $B A D$ пересекает сторону $B C$ в точке $K$ и продолжение стороны $D C$ за точку $C$ — в точке $P$ ; диагональ $A C$ .

Точка $K$ лежит на отрезке $A P$ , поэтому угол $K A D$ — это угол $P A D$ треугольника $A P D$ , а $A C$ — его биссектриса, причём точка $C$ лежит на стороне $P D$ . По свойству биссектрисы

$\frac{P C}{C D} = \frac{A P}{A D} .$

Рассмотрим треугольники $A P D$ и $K P C$ . Угол $P$ у них общий, а $∠ P K C = ∠ P A D$ как соответственные при параллельных прямых $B C$ , $A D$ и секущей $A P$ . По двум углам треугольники подобны, поэтому

$\frac{A P}{K P} = \frac{A D}{K C} \Rightarrow \frac{A P}{A D} = \frac{P K}{K C} .$

Сравнивая с равенством из свойства биссектрисы, получаем

$\frac{P C}{C D} = \frac{P K}{K C} .$

Докажем, что треугольник $K P C$ равнобедренный. Углы $K P C$ и $B A K$ — накрест лежащие при параллельных прямых $A B$ , $D P$ и секущей $A P$ , поэтому они равны. Луч $A K$ — биссектриса угла $B A D$ , поэтому $∠ B A K = ∠ P A D$ , а $∠ P A D = ∠ P K C$ , как показано выше. Итак,

$∠ K P C = ∠ B A K = ∠ P A D = ∠ P K C .$

В треугольнике $K P C$ углы при вершинах $P$ и $K$ равны, значит, $K C = P C$ . Подставим это в полученную пропорцию:

$\frac{P C}{C D} = \frac{P K}{P C} \Rightarrow P C^{2} = C D \cdot P K .$

Что и требовалось доказать.

б) Пусть $A B = 3 x$ , тогда $B C = A D = 8 x$ , $C D = A B = 3 x$ (противоположные стороны параллелограмма равны).

В треугольнике $A B K$ угол $B K A$ равен углу $K A D$ как накрест лежащий при параллельных прямых $B C$ , $A D$ и секущей $A K$ , а $∠ K A D = ∠ B A K$ по условию. Значит, $∠ B K A = ∠ B A K$ , треугольник $A B K$ равнобедренный и $B K = A B = 3 x$ . Тогда, используя пункт а),

$P C = K C = B C - B K = 8 x - 3 x = 5 x .$

Из доказанного равенства $P C^{2} = C D \cdot P K$ :

$25 x^{2} = 3 x \cdot P K \Rightarrow P K = \frac{25}{3} x .$

Из подобия треугольников $A P D$ и $K P C$ с коэффициентом $\frac{A D}{K C} = \frac{8 x}{5 x} = \frac{8}{5}$ :

$A P = \frac{8}{5} \cdot P K = \frac{8}{5} \cdot \frac{25}{3} x = \frac{40}{3} x .$

Найдём косинус угла $K C P$ по теореме косинусов для треугольника $K P C$ :

$P K^{2} = K C^{2} + P C^{2} - 2 \cdot K C \cdot P C \cdot cos ∠ K C P,$

$\frac{625}{9} x^{2} = 25 x^{2} + 25 x^{2} - 50 x^{2} cos ∠ K C P \Rightarrow cos ∠ K C P = \frac{50 - \frac{625}{9}}{50} = \frac{450 - 625}{450} = - \frac{7}{18} .$

Луч $C K$ сонаправлен с лучом $D A$ , а луч $C P$ — с лучом $D C$ , поэтому $∠ A D C = ∠ K C P$ (это соответственные углы при параллельных прямых $B C$ , $A D$ и секущей $D P$ ). Значит, $cos ∠ A D C = - \frac{7}{18}$ .

По теореме косинусов для треугольника $A C D$ :

$A C^{2} = A D^{2} + C D^{2} - 2 \cdot A D \cdot C D \cdot cos ∠ A D C = 64 x^{2} + 9 x^{2} + 2 \cdot 8 x \cdot 3 x \cdot \frac{7}{18} = 73 x^{2} + \frac{56}{3} x^{2} = \frac{275}{3} x^{2} .$

Отсюда

$A C = \frac{275}{3} x = \frac{5 33}{3} x .$

Проверим результат формулой для квадрата биссектрисы $A C$ треугольника $A P D$ : $A C^{2} = A P \cdot A D - P C \cdot C D = \frac{40}{3} x \cdot 8 x - 5 x \cdot 3 x = \frac{320}{3} x^{2} - 15 x^{2} = \frac{275}{3} x^{2}$ — совпадает.

Искомое отношение:

$\frac{A C}{A P} = \frac{\frac{5 33}{3} x}{\frac{40}{3} x} = \frac{5 33}{40} = \frac{33}{8} .$

Ответ: б) $\frac{33}{8}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — параллелограммы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18