Прямая, перпендикулярная стороне AD ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD — в точке N. При этом… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Квадрат, прямоугольник, ромб сложная 2023 развёрнутое

Прямая, перпендикулярная стороне $A D$ ромба $A B C D,$ пересекает его диагональ $A C$ в точке $M,$ а диагональ $B D$ — в точке $N .$ При этом $A M : M C = 1 : 2,$ $B N : N D = 1 : 3.$

а) Докажите, что $cos ∠ B A D = \frac{1}{5} .$

б) Найдите площадь ромба, если $M N = 52 .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Сделаем рисунок: ромб $A B C D$ , прямая, перпендикулярная $A D$ , пересекает $A D$ в точке $E$ , диагональ $A C$ — в точке $M$ , диагональ $B D$ — в точке $N$ . Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей.

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам: $A O = O C = \frac{A C}{2}$ , $B O = O D = \frac{B D}{2}$ . Из $A M : M C = 1 : 2$ получаем $A M = \frac{A C}{3}$ , тогда

$M O = \frac{A C}{2} - \frac{A C}{3} = \frac{A C}{6}, A M : M O = 2 : 1.$

Из $B N : N D = 1 : 3$ получаем $B N = \frac{B D}{4} = \frac{B O}{2}$ , то есть $N$ — середина $B O$ , и

$N O = \frac{B D}{4}, N D = \frac{3 B D}{4}, D N : N O = 3 : 1.$

Рассмотрим треугольник $A O D$ . Прямая $M N$ пересекает его сторону $A O$ во внутренней точке $M$ , а прямую $O D$ — в точке $N$ вне отрезка $O D$ . Прямая, пересекающая одну сторону треугольника во внутренней точке и не пересекающая вторую, обязательно пересекает третью сторону, поэтому точка $E$ лежит на стороне $A D$ . По теореме Менелая для треугольника $A O D$ и прямой $M N$ :

$\frac{A M}{M O} \cdot \frac{O N}{N D} \cdot \frac{D E}{E A} = 1 \Rightarrow 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{D E}{E A} = 1 \Rightarrow \frac{D E}{E A} = \frac{3}{2} .$

Значит, $D E = \frac{3}{5} A D$ .

Опустим высоту $B H$ на прямую $A D$ . Прямые $N E$ и $B H$ перпендикулярны $A D$ , поэтому параллельны. Треугольники $D N E$ и $D B H$ подобны (угол $D$ общий, $N E ∥ B H$ ), откуда

$\frac{D H}{D E} = \frac{D B}{D N} = \frac{4}{3}, D H = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{5} A D = \frac{4}{5} A D .$

Точка $H$ лежит на луче $D A$ и $D H < D A$ , поэтому $H$ лежит на стороне $A D$ и $A H = A D - D H = \frac{1}{5} A D$ . В ромбе $A B = A D$ , и из прямоугольного треугольника $A B H$

$cos ∠ B A D = \frac{A H}{A B} = \frac{\frac{1}{5} A D}{A D} = \frac{1}{5} .$

Что и требовалось доказать.

б) Обозначим $∠ B A D = 2 φ$ . Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам, поэтому $∠ O A D = φ$ и $∠ A O D = 9 0^{\circ}$ .

Прямоугольные треугольники $A O D$ и $N E D$ подобны по двум углам: прямому и общему углу $D$ . Поэтому $∠ E N D = ∠ O A D = φ$ .

Прямая пересекает треугольник $A O D$ по отрезку $E M$ , а точка $N$ лежит за точкой $O$ на продолжении $D O$ , поэтому точка $M$ лежит между $E$ и $N$ , а точка $O$ — между $N$ и $D$ . Значит, $∠ M N O = ∠ E N D = φ$ . Треугольник $M O N$ прямоугольный ( $∠ M O N = 9 0^{\circ}$ , так как $A C ⊥ B D$ ) с гипотенузой $M N = 52$ , поэтому

$N O = M N cos φ, M O = M N sin φ .$

По формулам понижения степени, учитывая, что угол $φ$ острый и $cos 2 φ = \frac{1}{5}$ :

$cos φ = \frac{1 + cos 2 φ}{2} = \frac{3}{5}, sin φ = \frac{1 - cos 2 φ}{2} = \frac{2}{5} .$

Тогда

$N O = 52 \cdot \frac{3}{5} = 30, M O = 52 \cdot \frac{2}{5} = 25 .$

Из пункта а) $N O = \frac{B D}{4}$ и $M O = \frac{A C}{6}$ , поэтому

$B D = 4 N O = 430, A C = 6 M O = 125 .$

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

$S_{A B C D} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B D = \frac{1}{2} \cdot 125 \cdot 430 = 24150 = 1206 .$

Ответ: б) $1206$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18