ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Сделаем рисунок: четырёхугольник $KLMN$ с прямым углом $N$ и углами $60^{\circ }$ при вершинах $L$ и $M$, вписанная окружность с центром $O$, точка касания $A$ на стороне $MN$.

Центр вписанной окружности равноудалён от всех сторон четырёхугольника, поэтому лежит на биссектрисах его углов. Значит, $LO$ — биссектриса угла $KLM$, и $\angle MLO=30^{\circ }$; $MO$ — биссектриса угла $LMN$, и $\angle LMO=\angle OMN=30^{\circ }$. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $OA\perp MN$.

Продолжим луч $LO$ до пересечения с прямой $MN$ в точке $A^{\prime }$ (лучи $LO$ и $MN$ лежат по одну сторону от прямой $LM$ и образуют с ней углы $30^{\circ }$ и $60^{\circ }$, сумма которых меньше $180^{\circ }$, поэтому они пересекаются). По теореме о сумме углов треугольника $LM{A}^{\prime }$

$$\angle L{A}^{\prime }M=180^{\circ }-\angle ML{A}^{\prime }-\angle LM{A}^{\prime }=180^{\circ }-30^{\circ }-60^{\circ }=90^{\circ }.$$

Значит, прямая $L{A}^{\prime }$ проходит через точку $O$ и перпендикулярна $MN$. Но из точки $O$ на прямую $MN$ можно опустить только один перпендикуляр, и это $OA$. Поэтому прямая $L{A}^{\prime }$ совпадает с прямой $OA$, а точка $A^{\prime }$ — с точкой $A$. Итак, точка $A$ лежит на прямой $LO$. Что и требовалось доказать.

б) Из пункта а) треугольник $MAL$ прямоугольный: $\angle MAL=90^{\circ }$, $\angle LMA=60^{\circ }$, $LA=9$. Тогда

$$ML=\frac{LA}{\sin 60^{\circ }}=\frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=6\sqrt{3},MA=ML\cdot \cos 60^{\circ }=6\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=3\sqrt{3}.$$

Центр $O$ лежит на отрезке $LA$. Обозначим радиус окружности $AO=x$, тогда $OL=9-x$.

В треугольнике $LMA$ отрезок $MO$ — биссектриса угла $M$. По свойству биссектрисы она делит сторону $LA$ в отношении прилежащих сторон:

$$\frac{LO}{OA}=\frac{ML}{MA}\Rightarrow \frac{9-x}{x}=\frac{6\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}=2\Rightarrow 9-x=2x\Rightarrow x=3.$$

Пусть окружность касается стороны $NK$ в точке $R$. В четырёхугольнике $ANRO$ углы при вершинах $N$, $A$, $R$ прямые ($\angle MNK=90^{\circ }$, радиусы $OA$ и $OR$ перпендикулярны касательным), а соседние стороны $OA$ и $OR$ равны как радиусы. Значит, $ANRO$ — квадрат, и $AN=AO=3$.

Точка касания $A$ лежит на стороне $MN$, поэтому

$$MN=MA+AN=3\sqrt{3}+3.$$

Ответ: б) $3\sqrt{3}+3$.