ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Сделаем рисунок: большая окружность, внутри неё меньшая, касающаяся её в точке $A$; хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P$; хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$.

Окружности касаются в точке $A$, поэтому у них есть общая касательная $l$ в этой точке. Отметим на $l$ точку $T$, лежащую по другую сторону от прямой $AC$, чем точка $B$.

Рассмотрим большую окружность. Угол между касательной $AT$ и хордой $AC$ равен половине дуги $AC$, заключённой внутри этого угла, а вписанный угол $ABC$ опирается на ту же дугу. Поэтому

$$\angle TAC=\angle ABC.$$

Рассмотрим меньшую окружность. По той же причине угол между касательной $AT$ и хордой $AM$ равен вписанному углу $AKM$:

$$\angle TAM=\angle AKM.$$

Точка $M$ лежит на отрезке $AC$, поэтому $\angle TAM=\angle TAC$. Значит, $\angle AKM=\angle ABC$. Это соответственные углы при прямых $KM$, $BC$ и секущей $AB$, поэтому по признаку параллельности прямых $KM\parallel BC$. Что и требовалось доказать.

б) Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры большей и меньшей окружностей. У касающихся окружностей центры и точка касания лежат на одной прямой. Прямая $A{O}_2$ пересекает меньшую окружность в точке $A$ и в диаметрально противоположной точке; центр $O_1$ лежит на этой прямой и на меньшей окружности, поэтому $A{O}_1$ — диаметр меньшей окружности. Отсюда радиус меньшей окружности равен $\frac{10}{2}=5$, то есть $O_1{O}_2=O_{2}P=5$.

Докажем, что $K$ и $M$ — середины хорд $AB$ и $AC$. Угол $AK{O}_1$ вписан в меньшую окружность и опирается на её диаметр $A{O}_1$, поэтому он прямой: $O_{1}K\perp AB$. Перпендикуляр из центра $O_1$ большей окружности к её хорде $AB$ делит хорду пополам, значит, $K$ — середина $AB$. Точно так же $M$ — середина $AC$. Тогда $KM$ — средняя линия треугольника $ABC$.

Найдём положение точки $P$ на хорде $BC$. Радиус $O_{2}P$, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной $BC$. Опустим перпендикуляр $O_{1}S$ на $BC$. Треугольник $B{O}_{1}C$ равнобедренный ($O_{1}B=O_{1}C=10$), его высота $O_{1}S$ является и медианой, поэтому $BS=SC=8$. По теореме Пифагора для треугольника $B{O}_{1}S$:

$$O_{1}S=\sqrt{B{O}_1^2-B{S}^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6.$$

Меньшая окружность лежит по одну сторону от своей касательной $BC$, и точка $O_1$ лежит на этой окружности, поэтому $O_1$ и $O_2$ находятся по одну сторону от $BC$. Отрезки $O_{2}P$ и $O_{1}S$ перпендикулярны $BC$, значит, $O_{2}PS{O}_1$ — прямоугольная трапеция. Опустим перпендикуляр $O_{2}H$ на $O_{1}S$. Четырёхугольник $O_{2}HSP$ — прямоугольник, поэтому $HS=O_{2}P=5$ и

$$O_{1}H=O_{1}S-HS=6-5=1.$$

По теореме Пифагора для треугольника $O_{1}H{O}_2$:

$$SP=O_{2}H=\sqrt{O_1{O}_2^2-O_1{H}^2}=\sqrt{25-1}=2\sqrt{6}.$$

Пусть для определённости точка $P$ лежит между $S$ и $C$ (иначе поменяем обозначения $B$ и $C$). Тогда

$$BP=BS+SP=8+2\sqrt{6},PC=SC-SP=8-2\sqrt{6}.$$

В треугольнике $ABP$ отрезок $KL$ проходит через середину $K$ стороны $AB$ параллельно $BP$, поэтому по теореме Фалеса $L$ — середина $AP$, а $KL$ — средняя линия. Аналогично $ML$ — средняя линия треугольника $ACP$. Отсюда

$$AL=LP,KL=\frac{BP}{2}=4+\sqrt{6},ML=\frac{PC}{2}=4-\sqrt{6}.$$

Точки $A$, $P$, $K$, $M$ лежат на меньшей окружности, а хорды $AP$ и $KM$ пересекаются в точке $L$. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд

$$AL\cdot LP=KL\cdot LM=\left(4+\sqrt{6}\right)\left(4-\sqrt{6}\right)=16-6=10.$$

Так как $AL=LP$, получаем $A{L}^2=10$, $AL=\sqrt{10}$.

Ответ: б) $\sqrt{10}$.