ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Точки $B$, $C$, $K$, $M$ лежат на одной окружности, причём $K$ лежит на катете $AC$, а $M$ — на гипотенузе $AB$. Значит, четырёхугольник $BCKM$ вписан в окружность.

Обозначим $\angle ABC=\alpha$. Во вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $180^{\circ }$, поэтому

$$\angle CKM=180^{\circ }-\angle MBC=180^{\circ }-\alpha .$$

Точка $K$ лежит между $A$ и $C$, поэтому углы $CKM$ и $AKM$ смежные, и

$$\angle AKM=180^{\circ }-\angle CKM=180^{\circ }-(180^{\circ }-\alpha )=\alpha =\angle ABC.$$

В треугольниках $AKM$ и $ABC$ угол $A$ общий, а $\angle AKM=\angle ABC$. По двум углам треугольники подобны, причём вершине $K$ соответствует $B$, а вершине $M$ — вершина $C$. Что и требовалось доказать.

б) Найдём гипотенузу по теореме Пифагора:

$$AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}=\sqrt{12^2+4^2}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}.$$

Угол $BCK$ прямой (это угол $C$ треугольника) и вписан в окружность, поэтому он опирается на диаметр: $BK$ — диаметр окружности, $BK=2\sqrt{29}$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BCK$:

$$CK=\sqrt{B{K}^2-B{C}^2}=\sqrt{{\left(2\sqrt{29}\right)}^2-4^2}=\sqrt{116-16}=10.$$

Тогда $AK=AC-CK=12-10=2$.

Из пункта а) треугольник $AKM$ подобен треугольнику $ABC$, стороне $AK$ соответствует сторона $AB$. Коэффициент подобия $k=\frac{AK}{AB}=\frac{2}{4\sqrt{10}}=\frac{1}{2\sqrt{10}}$. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

$$\frac{S_{AKM}}{S_{ABC}}=k^2=\frac{1}{40}.$$

Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ равна половине произведения катетов:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 4=24,S_{AKM}=\frac{24}{40}=0,6.$$

Четырёхугольник $CKMB$ получается из треугольника $ABC$ отрезанием треугольника $AKM$, поэтому

$$S_{CKMB}=S_{ABC}-S_{AKM}=24-0,6=23,4.$$

Ответ: б) $23,4$.