Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Трапеции сложная развёрнутое

Диагонали равнобедренной трапеции $A B C D$ с основаниями $B C$ и $A D$ перпендикулярны. Окружность с диаметром $A D$ пересекает боковую сторону $C D$ в точке $M$ , а окружность с диаметром $C D$ пересекает основание $A D$ в точке $N$ . Отрезки $A M$ и $C N$ пересекаются в точке $P$ .

а) Докажите, что в четырёхугольник $A B C P$ можно вписать окружность.

б) Найдите радиус этой окружности, если $B C = 7$ , $A D = 23$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Пусть $T$ — точка пересечения диагоналей $A C$ и $B D$ ; по условию $A C ⊥ B D$ .

Трапеция ABCD и окружность, вписанная в ABCP

Рассмотрим треугольник $A C D$ . Точка $N$ лежит на окружности с диаметром $C D$ , поэтому вписанный угол $C N D$ , опирающийся на диаметр, прямой: $C N ⊥ A D$ , и $C N$ — высота треугольника $A C D$ . Точка $M$ лежит на окружности с диаметром $A D$ , поэтому $∠ A M D = 9 0^{\circ}$ , и $A M$ — тоже высота треугольника $A C D$ .

Рисунок к решению

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, значит, $P$ — точка пересечения высот треугольника $A C D$ , и третья высота, проведённая из $D$ , проходит через $P$ : $D P ⊥ A C$ . Но и $D T ⊥ A C$ . Через точку $D$ проходит только одна прямая, перпендикулярная $A C$ , поэтому точка $P$ лежит на прямой $D T$ , то есть на диагонали $B D$ .

Найдём углы. Равнобедренная трапеция симметрична относительно серединного перпендикуляра к основаниям, поэтому $∠ C A D = ∠ B D A$ , и прямоугольный треугольник $A T D$ равнобедренный: $∠ C A D = 4 5^{\circ}$ . Углы $B C A$ и $C A D$ накрест лежащие при параллельных прямых $B C$ , $A D$ и секущей $A C$ , поэтому $∠ B C A = 4 5^{\circ}$ . В прямоугольном треугольнике $A C N$

$∠ A C N = 9 0^{\circ} - ∠ C A N = 9 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 4 5^{\circ} .$

Итак, $∠ B C T = ∠ P C T = 4 5^{\circ}$ . В треугольнике $B C P$ отрезок $C T$ — биссектриса и одновременно высота ( $C T ⊥ B P$ , так как $B$ и $P$ лежат на прямой $B D$ ). Значит, треугольник $B C P$ равнобедренный: $C B = C P$ , а $T$ — середина $B P$ . Тогда прямая $A C$ — серединный перпендикуляр к отрезку $B P$ , и каждая её точка равноудалена от $B$ и $P$ :

$A B = A P, C B = C P .$

Отсюда суммы противоположных сторон четырёхугольника $A B C P$ равны:

$A B + C P = A P + B C .$

Четырёхугольник $A B C P$ выпуклый: точка $P$ лежит внутри треугольника $A C D$ , то есть по другую сторону от $A C$ , чем $B$ , и его диагонали $A C$ и $B P$ пересекаются в точке $T$ , лежащей внутри обеих диагоналей. В выпуклый четырёхугольник, у которого суммы противоположных сторон равны, можно вписать окружность. Что и требовалось доказать.

б) Треугольники $B T C$ и $A T D$ прямоугольные равнобедренные (их острые углы равны $4 5^{\circ}$ ), поэтому их катеты равны гипотенузе, делённой на $2$ :

$T B = T C = \frac{7}{2}, T A = T D = \frac{23}{2} .$

Тогда

$A C = T A + T C = \frac{30}{2} = 152, B P = 2 T B = \frac{14}{2} = 72 .$

Сторону $A B$ найдём по теореме Пифагора из треугольника $A T B$ :

$A B = T A^{2} + T B^{2} = \frac{529}{2} + \frac{49}{2} = 289 = 17.$

Из пункта а) $A P = A B = 17$ и $C P = C B = 7$ . Диагонали $A C$ и $B P$ четырёхугольника $A B C P$ перпендикулярны, поэтому его площадь равна половине произведения диагоналей:

$S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B P = \frac{1}{2} \cdot 152 \cdot 72 = 105.$

Полупериметр:

$p = \frac{A B + B C + C P + P A}{2} = \frac{17 + 7 + 7 + 17}{2} = 24.$

Площадь многоугольника, в который вписана окружность, равна произведению полупериметра на радиус: $S = p r$ . Отсюда

$r = \frac{S}{p} = \frac{105}{24} = \frac{35}{8} .$

Ответ: б) $\frac{35}{8}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18