В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности средняя 2025 развёрнутое

В треугольнике $A B C$ все стороны различны. Прямая, содержащая высоту $B H$ треугольника $A B C,$ вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке $K .$ Отрезок $B N$ — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что прямые $A C$ и $K N$ параллельны.

б) Найдите расстояние от точки $N$ до прямой $A C,$ если радиус описанной около треугольника $A B C$ окружности равен $106,$ $∠ B A C = 3 0^{\circ},$ $∠ A B C = 10 5^{\circ} .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Сделаем рисунок: описанная окружность с центром $O$ , высота $B H$ , её продолжение до точки $K$ на окружности, диаметр $B N$ .

Сначала убедимся, что точки $K$ и $N$ различны. Если бы $K$ совпала с $N$ , то прямая $B H$ проходила бы через центр $O$ . Прямая, проходящая через центр перпендикулярно хорде $A C$ , — это серединный перпендикуляр к $A C$ . Тогда вершина $B$ лежала бы на серединном перпендикуляре к $A C$ , и было бы $B A = B C$ , а по условию все стороны треугольника различны. Значит, $K \neq = N$ .

Угол $B K N$ вписан в окружность и опирается на диаметр $B N$ , поэтому $∠ B K N = 9 0^{\circ}$ , то есть $K N ⊥ B K$ . С другой стороны, $B H$ — высота, поэтому $A C ⊥ B K$ . Две прямые $K N$ и $A C$ перпендикулярны одной и той же прямой $B K$ , значит, они параллельны: $K N ∥ A C$ . Что и требовалось доказать.

б) Все точки прямой $K N$ находятся на одинаковом расстоянии от параллельной ей прямой $A C$ . Поэтому расстояние от $N$ до $A C$ равно расстоянию от $K$ до $A C$ , то есть длине отрезка $K H$ ( $K H ⊥ A C$ ).

Найдём третий угол треугольника:

$∠ A C B = 18 0^{\circ} - ∠ A B C - ∠ B A C = 18 0^{\circ} - 10 5^{\circ} - 3 0^{\circ} = 4 5^{\circ} .$

Углы $A$ и $C$ острые, поэтому основание $H$ высоты лежит на отрезке $A C$ , а точка $K$ — на продолжении $B H$ за точку $H$ . В прямоугольном треугольнике $B H C$

$∠ H B C = 9 0^{\circ} - ∠ B C H = 9 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 4 5^{\circ},$

и $∠ K B C = ∠ H B C = 4 5^{\circ}$ .

Проведём хорду $K C$ . Вписанные углы $B K C$ и $B A C$ опираются на одну дугу $B C$ , поэтому $∠ B K C = ∠ B A C = 3 0^{\circ}$ .

Треугольник $B C K$ вписан в ту же окружность радиуса $R = 106$ . По теореме синусов

$\frac{C K}{sin ∠ K B C} = 2 R \Rightarrow C K = 2 \cdot 106 \cdot sin 4 5^{\circ} = 206 \cdot \frac{2}{2} = 203 .$

В прямоугольном треугольнике $K H C$ угол $K$ равен $3 0^{\circ}$ , катет $K H$ прилежит к нему:

$K H = C K \cdot cos 3 0^{\circ} = 203 \cdot \frac{3}{2} = 30.$

Проверим другим способом. По теореме синусов $B C = 2 R sin 3 0^{\circ} = 106$ , в равнобедренном прямоугольном треугольнике $B H C$ катеты $B H = H C = \frac{B C}{2} = 103$ , а из треугольника $A B H$ $A H = B H \cdot ctg 3 0^{\circ} = 30$ . По свойству пересекающихся хорд $A C$ и $B K$ : $B H \cdot H K = A H \cdot H C$ , откуда $H K = \frac{30 \cdot 10 3}{10 3} = 30$ . Результаты совпали.

Ответ: б) $30$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18