На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки C₁, A₁ и B₁ соответственно, причём AC₁:C₁B=8:3… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Параллелограммы сложная развёрнутое

На сторонах $A B$ , $B C$ и $A C$ треугольника $A B C$ отмечены точки $C_{1}$ , $A_{1}$ и $B_{1}$ соответственно, причём $A C_{1} : C_{1} B = 8 : 3$ , $B A_{1} : A_{1} C = 1 : 2$ , $A B_{1} : B_{1} C = 1 : 3$ . Отрезки $B B_{1}$ и $C C_{1}$ пересекаются в точке $D$ .

а) Докажите, что четырёхугольник $A D A_{1} B_{1}$ — параллелограмм.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $A B C$ , если отрезки $A D$ и $B C$ перпендикулярны, $A C = 16$ , $B C = 15$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Сделаем рисунок по условию.

Параллелограмм ADA₁B₁ и описанная окружность

Найдём, в каком отношении точка $D$ делит отрезок $B B_{1}$ . Рассмотрим треугольник $A B B_{1}$ и прямую $C C_{1}$ . Она пересекает сторону $A B$ в точке $C_{1}$ , сторону $B B_{1}$ в точке $D$ и продолжение стороны $A B_{1}$ в точке $C$ . По теореме Менелая

$\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B D}{D B _{1}} \cdot \frac{B _{1} C}{C A} = 1.$

По условию $\frac{A C _{1}}{C _{1} B} = \frac{8}{3}$ , а из $A B_{1} : B_{1} C = 1 : 3$ следует $B_{1} C = \frac{3}{4} A C$ и $A B_{1} = \frac{1}{4} A C$ . Подставим:

$\frac{8}{3} \cdot \frac{B D}{D B _{1}} \cdot \frac{3}{4} = 1 \Rightarrow 2 \cdot \frac{B D}{D B _{1}} = 1 \Rightarrow \frac{B D}{D B _{1}} = \frac{1}{2} .$

Итак, $B D : D B_{1} = 1 : 2 = B A_{1} : A_{1} C$ . Значит, в треугольнике $B B_{1} C$

$\frac{B D}{B B _{1}} = \frac{B A _{1}}{B C} = \frac{1}{3} .$

Треугольники $B D A_{1}$ и $B B_{1} C$ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (угол $B$ общий) с коэффициентом $\frac{1}{3}$ . Поэтому $∠ B D A_{1} = ∠ B B_{1} C$ , и это соответственные углы при прямых $D A_{1}$ , $B_{1} C$ и секущей $B B_{1}$ , откуда $D A_{1} ∥ B_{1} C$ . Кроме того,

$D A_{1} = \frac{1}{3} B_{1} C = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} A C = \frac{1}{4} A C = A B_{1} .$

Треугольник $B D A_{1}$ получается из треугольника $B B_{1} C$ гомотетией с центром $B$ и коэффициентом $\frac{1}{3}$ , поэтому отрезок $D A_{1}$ не только параллелен $B_{1} C$ , но и направлен так же, как $B_{1} C$ , то есть так же, как $A B_{1}$ . Отрезки $D A_{1}$ и $A B_{1}$ параллельны, равны и одинаково направлены: $D A_{1} = A B_{1}$ . Значит, четырёхугольник $A D A_{1} B_{1}$ — параллелограмм (его противоположные стороны $D A_{1}$ и $A B_{1}$ параллельны и равны). Что и требовалось доказать.

б) Противоположные стороны параллелограмма параллельны: $A_{1} B_{1} ∥ A D$ . По условию $A D ⊥ B C$ , значит, и $A_{1} B_{1} ⊥ B C$ , то есть треугольник $A_{1} B_{1} C$ прямоугольный с прямым углом $A_{1}$ .

Найдём его стороны:

$A_{1} C = \frac{2}{3} B C = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10, B_{1} C = \frac{3}{4} A C = \frac{3}{4} \cdot 16 = 12.$

Косинус угла $C$ — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

$cos ∠ C = \frac{A _{1} C}{B _{1} C} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}, sin ∠ C = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{6} .$

По теореме косинусов для треугольника $A B C$ :

$A B^{2} = A C^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A C \cdot B C \cdot cos ∠ C = 256 + 225 - 2 \cdot 16 \cdot 15 \cdot \frac{5}{6} = 481 - 400 = 81, A B = 9.$

По теореме синусов $\frac{A B}{sin ∠ C} = 2 R$ , откуда

$R = \frac{A B}{2 sin ∠ C} = \frac{9}{2 \cdot \frac{11}{6}} = \frac{27}{11} = \frac{27 11}{11} .$

Ответ: б) $\frac{27 11}{11}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — параллелограммы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18