Сумма оснований трапеции равна 17, а её диагонали равны 8 и 15. а)… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Трапеции средняя 2025 развёрнутое

Сумма оснований трапеции равна 17, а её диагонали равны 8 и 15.

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Пусть $A B C D$ — трапеция с основаниями $A D$ и $B C$ , $A C = 15$ , $B D = 8$ , $A D + B C = 17$ .

Выполним дополнительное построение: через вершину $C$ проведём прямую, параллельную диагонали $B D$ , до пересечения с прямой $A D$ в точке $N$ .

В четырёхугольнике $B C N D$ стороны $B C$ и $D N$ лежат на параллельных прямых $B C$ и $A D$ , а $C N ∥ B D$ по построению. Значит, $B C N D$ — параллелограмм, и его противоположные стороны равны:

$D N = B C, C N = B D = 8.$

Отрезок $D N$ равен и сонаправлен с $B C$ , а $B C$ сонаправлен с $A D$ , поэтому точка $N$ лежит на продолжении $A D$ за точку $D$ , и

$A N = A D + D N = A D + B C = 17.$

Рассмотрим треугольник $A C N$ со сторонами $A C = 15$ , $C N = 8$ , $A N = 17$ :

$A C^{2} + C N^{2} = 1 5^{2} + 8^{2} = 225 + 64 = 289 = 1 7^{2} = A N^{2} .$

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $A C N$ прямоугольный: $∠ A C N = 9 0^{\circ}$ , то есть $A C ⊥ C N$ . Но $C N ∥ B D$ , поэтому и $A C ⊥ B D$ : диагонали трапеции перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

б) Опустим перпендикуляр $C H$ на прямую $A D$ . Высота трапеции равна расстоянию между прямыми оснований, то есть $C H$ . Точка $N$ лежит на прямой $A D$ , поэтому $C H$ — это и высота прямоугольного треугольника $A C N$ , проведённая к гипотенузе $A N$ .

Запишем площадь треугольника $A C N$ двумя способами — через катеты и через гипотенузу с высотой:

$\frac{1}{2} \cdot A C \cdot C N = \frac{1}{2} \cdot A N \cdot C H \Rightarrow C H = \frac{A C \cdot C N}{A N} = \frac{15 \cdot 8}{17} = \frac{120}{17} .$

Ответ: б) $\frac{120}{17}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18