ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Пусть $\angle ABC=\alpha$, тогда $\angle BAC=2\alpha$. Сделаем рисунок: окружность, описанная около треугольника $ABC$, с центром $O$, и вторая окружность, проходящая через $A$, $O$, $C$ и пересекающая сторону $BC$ в точке $P$.

Треугольник $ABC$ остроугольный, поэтому центр $O$ его описанной окружности лежит внутри треугольника. Центральный угол $AOC$ и вписанный угол $ABC$ опираются на одну дугу $AC$, поэтому

$$\angle AOC=2\angle ABC=2\alpha .$$

Точки $O$ и $P$ лежат на окружности, описанной около треугольника $AOC$, и находятся по одну сторону от прямой $AC$ (обе — в той же полуплоскости, что и вершина $B$). Углы $APC$ и $AOC$ вписаны в эту окружность и опираются на одну дугу $AC$, поэтому

$$\angle APC=\angle AOC=2\alpha =\angle BAC.$$

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $PAC$. У них $\angle BAC=\angle APC$, а угол $C$ общий (точка $P$ лежит на стороне $BC$). Значит, треугольники подобны по двум углам, причём вершине $A$ соответствует $P$, вершине $B$ — вершина $A$, вершине $C$ — $C$. Что и требовалось доказать.

б) Из подобия треугольников $ABC$ и $PAC$ запишем отношение соответствующих сторон:

$$\frac{AC}{BC}=\frac{PC}{AC}\Rightarrow PC=\frac{A{C}^2}{BC}=\frac{9}{\sqrt{21}}.$$

Тогда

$$BP=BC-PC=\sqrt{21}-\frac{9}{\sqrt{21}}=\frac{21-9}{\sqrt{21}}=\frac{12}{\sqrt{21}}.$$

Из того же подобия соответствующие углы равны: $\angle PAC=\angle ABC=\alpha$. Тогда

$$\angle BAP=\angle BAC-\angle PAC=2\alpha -\alpha =\alpha =\angle PAC,$$

то есть $AP$ — биссектриса угла $BAC$. По свойству биссектрисы

$$\frac{AB}{AC}=\frac{BP}{PC}\Rightarrow AB=\frac{AC\cdot BP}{PC}=\frac{3\cdot \frac{12}{\sqrt{21}}}{\frac{9}{\sqrt{21}}}=\frac{3\cdot 12}{9}=4.$$

Проверим, что такой треугольник удовлетворяет условию. По теореме косинусов $\cos \angle A=\frac{16+9-21}{2\cdot 4\cdot 3}=\frac{1}{6}$ и $\cos \angle B=\frac{16+21-9}{2\cdot 4\cdot \sqrt{21}}=\frac{\sqrt{21}}{6}$, тогда $\cos 2\angle B=2\cdot \frac{21}{36}-1=\frac{1}{6}=\cos \angle A$, то есть $\angle A=2\angle B$. Наибольшая сторона $\sqrt{21}$, и $21<16+9$, поэтому треугольник остроугольный.

Ответ: б) $4$.