В треугольнике ABC со сторонами AB=6√5, AC=8√3 и BC=6 на стороне BC… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности средняя 2026 развёрнутое

В треугольнике $A B C$ со сторонами $A B = 65,$ $A C = 83$ и $B C = 6$ на стороне $B C$ отметили точку $D$ так, что $B D : D C = 1 : 2.$

а) Докажите, что $A D$ — высота треугольника $A B C .$

б) На луче $B C$ отметили точку $E$ такую, что $A C$ — биссектриса треугольника $B A E .$ Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $B A E .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Сделаем рисунок: треугольник $A B C$ , на стороне $B C$ точка $D$ , отрезок $A D$ . Так как $B C = 6$ и $B D : D C = 1 : 2$ , то

$B D = \frac{B C}{3} = 2, D C = \frac{2 B C}{3} = 4.$

Найдём косинус угла $B$ по теореме косинусов для треугольника $A B C$ :

$A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A B \cdot B C \cdot cos ∠ B,$

$192 = 180 + 36 - 2 \cdot 65 \cdot 6 \cdot cos ∠ B \Rightarrow 725 cos ∠ B = 24 \Rightarrow cos ∠ B = \frac{1}{3 5} .$

Теперь по теореме косинусов для треугольника $A B D$ найдём $A D$ :

$A D^{2} = A B^{2} + B D^{2} - 2 \cdot A B \cdot B D \cdot cos ∠ B = 180 + 4 - 2 \cdot 65 \cdot 2 \cdot \frac{1}{3 5} = 184 - 8 = 176.$

Проверим равенство из теоремы Пифагора для треугольника $A B D$ :

$A D^{2} + B D^{2} = 176 + 4 = 180 = (65)^{2} = A B^{2} .$

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $A B D$ прямоугольный с прямым углом $D$ . Значит, $A D ⊥ B C$ , и $A D$ — высота треугольника $A B C$ . Что и требовалось доказать.

б) Луч $A C$ — биссектриса угла $B A E$ , поэтому точка $C$ лежит на стороне $B E$ треугольника $B A E$ , то есть точка $E$ лежит на продолжении $B C$ за точку $C$ . Пусть $C E = x$ , $x > 0$ . Тогда

$B E = B C + C E = 6 + x, D E = D C + C E = 4 + x .$

По свойству биссектрисы $A C$ треугольника $B A E$ она делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{B C}{C E} = \frac{A B}{A E} \Rightarrow A E = \frac{A B \cdot C E}{B C} = \frac{6 5 \cdot x}{6} = x 5 .$

Из пункта а) $A D^{2} = 176$ , то есть $A D = 176 = 411$ . Треугольник $A D E$ прямоугольный (угол $D$ прямой), по теореме Пифагора

$A D^{2} + D E^{2} = A E^{2} \Rightarrow 176 + (4 + x)^{2} = 5 x^{2} \Rightarrow 4 x^{2} - 8 x - 192 = 0 \Rightarrow x^{2} - 2 x - 48 = 0.$

Дискриминант $D = 4 + 4 \cdot 48 = 196 = 1 4^{2}$ , корни

$x = \frac{2 + 14}{2} = 8, x = \frac{2 - 14}{2} = - 6.$

Длина отрезка положительна, поэтому $C E = 8$ . Тогда

$A E = 85, B E = 6 + 8 = 14.$

Отрезок $A D$ — высота треугольника $B A E$ , проведённая к стороне $B E$ , поэтому площадь

$S = \frac{1}{2} \cdot B E \cdot A D = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 411 = 2811 .$

Полупериметр треугольника $B A E$ :

$p = \frac{A B + A E + B E}{2} = \frac{6 5 + 8 5 + 14}{2} = 75 + 7 = 7 (5 + 1) .$

Радиус вписанной окружности найдём из формулы $S = p r$ :

$r = \frac{S}{p} = \frac{28 11}{7 ( 5 + 1 )} = \frac{4 11 ( 5 - 1 )}{( 5 + 1 ) ( 5 - 1 )} = \frac{4 11 ( 5 - 1 )}{4} = 11 (5 - 1) .$

Ответ: б) $11 (5 - 1)$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18