Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. На… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Трапеции сложная развёрнутое

Биссектрисы углов $B A D$ и $B C D$ равнобедренной трапеции $A B C D$ пересекаются в точке $O$ . На боковых сторонах $A B$ и $C D$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно так, что $A M = M O$ , $C N = N O$ .

а) Докажите, что точки $M$ , $O$ и $N$ лежат на одной прямой.

б) Найдите отношение $A M : M B$ , если $A O = C O$ и $B C : A D = 17 : 31$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Обозначим $∠ B A D = 2 α$ . Луч $A O$ — биссектриса угла $B A D$ , поэтому

$∠ M A O = ∠ O A D = α .$

Трапеция ABCD, биссектрисы AO и CO, отрезок MN

По условию $A M = M O$ , значит, треугольник $A M O$ равнобедренный с основанием $A O$ . Углы при основании равнобедренного треугольника равны:

$∠ M O A = ∠ M A O = ∠ O A D .$

Биссектриса $A O$ разделяет угол $B A D$ , поэтому точка $M$ (она лежит на стороне $A B$ ) и точка $D$ находятся по разные стороны от прямой $A O$ . Значит, углы $M O A$ и $O A D$ — накрест лежащие при прямых $M O$ и $A D$ и секущей $A O$ . Они равны, поэтому по признаку параллельности прямых $M O ∥ A D$ .

Точно так же рассмотрим треугольник $C N O$ . В нём $C N = N O$ , он равнобедренный с основанием $C O$ , и, так как $C O$ — биссектриса угла $B C D$ ,

$∠ C O N = ∠ N C O = ∠ O C B .$

Точки $N$ и $B$ лежат по разные стороны от биссектрисы $C O$ , поэтому углы $C O N$ и $O C B$ — накрест лежащие при прямых $O N$ и $B C$ и секущей $C O$ . Они равны, значит, $O N ∥ B C$ .

Основания трапеции параллельны: $B C ∥ A D$ . Тогда и $O N ∥ A D$ . Получили, что прямые $O M$ и $O N$ проходят через одну точку $O$ и обе параллельны прямой $A D$ . По аксиоме параллельных через точку вне прямой проходит только одна прямая, параллельная данной. Значит, прямые $O M$ и $O N$ совпадают, и точки $M$ , $O$ , $N$ лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

б) Из пункта а) прямая $M N$ проходит через $O$ параллельно основаниям трапеции.

Рисунок к решению

Найдём сумму углов $B A D$ и $B C D$ . Трапеция равнобедренная, поэтому углы при основании $B C$ равны: $∠ A B C = ∠ B C D$ . Углы $B A D$ и $A B C$ — односторонние при параллельных прямых $A D$ , $B C$ и секущей $A B$ , их сумма равна $18 0^{\circ}$ . Следовательно,

$∠ B A D + ∠ B C D = ∠ B A D + ∠ A B C = 18 0^{\circ} .$

Лучи $A O$ и $C O$ — биссектрисы этих углов, поэтому

$∠ O A D + ∠ O C B = \frac{∠ B A D + ∠ B C D}{2} = \frac{18 0 ^{\circ}}{2} = 9 0^{\circ}, ∠ O C B = 9 0^{\circ} - α .$

Кроме того, углы при большем основании равнобедренной трапеции равны: $∠ A D C = ∠ B A D = 2 α$ .

Сделаем дополнительные построения. Опустим перпендикуляр $O H$ на $A D$ и перпендикуляр $C P$ на $A D$ . Прямая $C P$ пересекает $M N$ в точке $L$ ; так как $M N ∥ A D$ , то $C L ⊥ M N$ .

Углы $L O C$ и $O C B$ — накрест лежащие при параллельных прямых $M N$ , $B C$ и секущей $O C$ , поэтому $∠ L O C = ∠ O C B = 9 0^{\circ} - α$ . В прямоугольном треугольнике $O L C$ сумма острых углов равна $9 0^{\circ}$ , значит,

$∠ O C L = 9 0^{\circ} - (9 0^{\circ} - α) = α .$

Сравним прямоугольные треугольники $A H O$ и $C L O$ . Их гипотенузы равны по условию: $A O = C O$ . Острые углы тоже равны: $∠ O A H = α = ∠ O C L$ . По гипотенузе и острому углу треугольники равны, откуда

$A H = C L, O H = O L .$

Четырёхугольник $O L P H$ — прямоугольник: $O H ⊥ A D$ , $L P ⊥ A D$ , $O L ∥ H P$ . У него соседние стороны $O H$ и $O L$ равны, значит, это квадрат, и $H P = O L = L P = O H$ . Тогда

$A P = A H + H P = C L + L P = C P .$

Рисунок к решению

Пусть $B C = 17 x$ , $A D = 31 x$ . В равнобедренной трапеции основание высоты, опущенной из вершины меньшего основания, отсекает от большего основания отрезок, равный полуразности оснований:

$P D = \frac{A D - B C}{2} = \frac{31 x - 17 x}{2} = 7 x, C P = A P = A D - P D = 31 x - 7 x = 24 x .$

В прямоугольном треугольнике $C P D$ угол при вершине $D$ равен $2 α$ , поэтому

$tg 2 α = \frac{C P}{P D} = \frac{24 x}{7 x} = \frac{24}{7} .$

Теперь выразим искомое отношение. Параллельные прямые $B C$ , $M N$ , $A D$ высекают на сторонах $A B$ , $C D$ и на прямой $C P$ пропорциональные отрезки (обобщённая теорема Фалеса). Учитывая, что $P L = O L$ , получаем

$\frac{A M}{M B} = \frac{D N}{N C} = \frac{P L}{L C} = \frac{O L}{L C} .$

В прямоугольном треугольнике $O L C$ отношение противолежащего катета к прилежащему — это тангенс угла $O C L$ : $\frac{O L}{L C} = tg α$ . Значит, $\frac{A M}{M B} = tg α$ .

Обозначим $t = tg α$ и применим формулу тангенса двойного угла:

$\frac{2 t}{1 - t ^{2}} = \frac{24}{7} \Rightarrow 14 t = 24 - 24 t^{2} \Rightarrow 12 t^{2} + 7 t - 12 = 0.$

Дискриминант $D = 7^{2} + 4 \cdot 12 \cdot 12 = 49 + 576 = 625 = 2 5^{2}$ , корни

$t = \frac{- 7 + 25}{24} = \frac{3}{4}, t = \frac{- 7 - 25}{24} = - \frac{4}{3} .$

Угол $α$ — половина угла трапеции, он острый, поэтому $t > 0$ и $t = \frac{3}{4}$ . Итак, $A M : M B = 3 : 4$ .

Ответ: б) $3 : 4$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18