Точки A, B, C, D, E лежат на окружности в указанном порядке, причём… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности сложная 2021 развёрнутое

Точки $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ лежат на окружности в указанном порядке, причём $A E = E D = C D$ , а прямые $A C$ и $B E$ перпендикулярны. Отрезки $A C$ и $B D$ пересекаются в точке $T$ .

а) Докажите, что прямая $E C$ пересекает отрезок $T D$ в его середине.

б) Найдите площадь треугольника $A B T$ , если $B D = 12$ , $A E = 23$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: точки $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ на окружности в указанном порядке, хорды $A E$ , $E D$ , $C D$ равны, $A C ⊥ B E$ , $T$ — точка пересечения $A C$ и $B D$ .

а) Равные хорды $A E$ и $C D$ стягивают равные дуги. Вписанный угол $A C E$ опирается на дугу $A E$ , а вписанный угол $C E D$ — на дугу $C D$ , поэтому

$∠ A C E = ∠ C E D .$

Точки $A$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $C E$ , поэтому это накрест лежащие углы при прямых $A C$ , $D E$ и секущей $C E$ . По признаку параллельности $A C ∥ D E$ .

По условию $B E ⊥ A C$ , а значит, и $B E ⊥ D E$ , то есть $∠ B E D = 9 0^{\circ}$ . Вписанный угол $B E D$ прямой, поэтому он опирается на диаметр: $B D$ — диаметр окружности. Тогда и вписанный угол $B C D$ , опирающийся на диаметр, прямой.

Вписанные углы $D B E$ и $D B C$ опираются на равные дуги $D E$ и $D C$ , поэтому равны. Прямоугольные треугольники $D B E$ и $D B C$ равны по общей гипотенузе $B D$ и острому углу, следовательно, $B E = B C$ . Кроме того, $D E = D C$ по условию.

Точки $B$ и $D$ равноудалены от концов отрезка $C E$ , значит, обе лежат на его серединном перпендикуляре, то есть прямая $B D$ — серединный перпендикуляр к $C E$ . Пусть $M$ — точка пересечения $B D$ и $C E$ ; тогда $M$ — середина $C E$ и $B D ⊥ C E$ .

Рассмотрим прямоугольные треугольники $E M D$ и $C M T$ (прямые углы при вершине $M$ ). У них $E M = C M$ , а острые углы $M E D$ и $M C T$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $D E$ и $A C$ и секущей $C E$ . Значит, треугольники равны по катету и прилежащему острому углу, и $M D = M T$ . Точки $D$ и $T$ лежат по разные стороны от прямой $C E$ , поэтому $M$ — середина отрезка $T D$ .

Итак, прямая $E C$ проходит через середину отрезка $T D$ , что и требовалось доказать.

б) По условию $D E = A E = 23$ . В прямоугольном треугольнике $B E D$ по теореме Пифагора

$B E = B D^{2} - D E^{2} = 144 - 12 = 132 = 233 .$

Отрезок $E M$ — высота этого треугольника, проведённая к гипотенузе (так как $C E ⊥ B D$ ). Высота прямоугольного треугольника равна произведению катетов, делённому на гипотенузу:

$E M = \frac{B E \cdot D E}{B D} = \frac{2 33 \cdot 2 3}{12} = \frac{4 \cdot 3 11}{12} = 11 .$

Из прямоугольного треугольника $E M D$

$D M = D E^{2} - E M^{2} = 12 - 11 = 1.$

По пункту а) $T D = 2 D M = 2$ , поэтому $B T = B D - T D = 12 - 2 = 10$ .

Пусть $H$ — точка пересечения $B E$ и $A C$ . Вписанные углы $A B E$ и $E B D$ опираются на равные дуги $A E$ и $E D$ , поэтому $∠ A B H = ∠ H B T$ . В треугольнике $A B T$ отрезок $B H$ одновременно высота ( $B E ⊥ A C$ ) и биссектриса, значит, треугольник равнобедренный: $A B = B T = 10$ , а $B H$ — ещё и медиана, $A H = H T$ .

Прямоугольные треугольники $B H T$ и $B E D$ подобны: $∠ B H T = ∠ B E D = 9 0^{\circ}$ , угол $B$ общий. Коэффициент подобия

$k = \frac{B T}{B D} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} .$

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия. Площадь треугольника $B E D$

$S_{B E D} = \frac{1}{2} \cdot B E \cdot D E = \frac{1}{2} \cdot 233 \cdot 23 = 299 = 611,$

поэтому

$S_{B H T} = k^{2} \cdot S_{B E D} = \frac{25}{36} \cdot 611 = \frac{25 11}{6} .$

Медиана $B H$ делит треугольник $A B T$ на два равновеликих треугольника, следовательно,

$S_{A B T} = 2 S_{B H T} = \frac{25 11}{3} .$

Ответ: б) $\frac{25 11}{3}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18