В квадрат ABCD вписана окружность, к которой проведена касательная… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Квадрат, прямоугольник, ромб сложная 2015 развёрнутое

В квадрат $A B C D$ вписана окружность, к которой проведена касательная, пересекающая стороны $A B$ и $A D$ в точках $M$ и $K$ соответственно.

а) Докажите, что периметр $△ A M K$ равен $A B .$

б) В каком отношении делит сторону $B C$ прямая, проходящая через точку $N$ и центр окружности, если $A M : M B = 1 : 2$ и $N$ — точка пересечения прямых $M K$ и $C D .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: квадрат $A B C D$ и вписанная в него окружность с центром $O$ , касательная пересекает $A B$ в точке $M$ , $A D$ — в точке $K$ , а прямую $C D$ — в точке $N$ .

а) Обозначим точки касания окружности с отрезком $M K$ , сторонами $A B$ , $A D$ и $C D$ через $Y$ , $T$ , $Z$ и $I$ соответственно.

Центр вписанной окружности квадрата — его центр, а перпендикуляр из центра квадрата на сторону приходит в её середину. Поэтому точки касания $T$ , $Z$ , $I$ — середины сторон $A B$ , $A D$ , $C D$ :

$A T = A Z = \frac{A B}{2} .$

Касательная $M K$ отсекает от квадрата угол $A$ , поэтому $M$ лежит на отрезке $A T$ , а $K$ — на отрезке $A Z$ . Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: $M Y = M T$ и $K Y = K Z$ . Тогда

$P_{A M K} = A M + M K + K A = A M + M Y + Y K + K A = (A M + M T) + (K Z + K A) = A T + A Z = A B,$

что и требовалось доказать.

б) Пусть сторона квадрата равна $6 x$ . По условию $A M : M B = 1 : 2$ , поэтому $A M = 2 x$ , $M B = 4 x$ . Так как $A T = 3 x$ , то $M T = A T - A M = x$ , и $M Y = M T = x$ .

Обозначим $K Z = K Y = y$ . Тогда

$A K = A Z - K Z = 3 x - y, M K = M Y + Y K = x + y .$

Треугольник $A M K$ прямоугольный, по теореме Пифагора $M K^{2} = A M^{2} + A K^{2}$ :

$(x + y)^{2} = 4 x^{2} + (3 x - y)^{2},$

$x^{2} + 2 x y + y^{2} = 4 x^{2} + 9 x^{2} - 6 x y + y^{2} \Rightarrow 8 x y = 12 x^{2} \Rightarrow y = \frac{3 x}{2} .$

Значит, $A K = \frac{3 x}{2}$ , $M K = \frac{5 x}{2}$ и $K D = A D - A K = 6 x - \frac{3 x}{2} = \frac{9 x}{2}$ .

Прямая $M K$ после точки $K$ выходит за сторону $A D$ , поэтому точка $N$ лежит на продолжении стороны $C D$ за точку $D$ . Прямоугольные треугольники $A M K$ и $D N K$ подобны: $∠ M A K = ∠ N D K = 9 0^{\circ}$ , а углы $A K M$ и $D K N$ равны как вертикальные. Из подобия

$\frac{N D}{A M} = \frac{K D}{A K} = \frac{\frac{9 x}{2}}{\frac{3 x}{2}} = 3 \Rightarrow N D = 3 \cdot 2 x = 6 x .$

Пусть прямая $N O$ пересекает сторону $B C$ в точке $P$ . Радиус $O I$ перпендикулярен касательной $C D$ , $O I = 3 x$ , а $I$ — середина $C D$ , поэтому

$N I = N D + D I = 6 x + 3 x = 9 x, N C = N D + D C = 6 x + 6 x = 12 x .$

Прямоугольные треугольники $N I O$ и $N C P$ подобны: $∠ N I O = ∠ N C P = 9 0^{\circ}$ , угол $N$ общий. Из подобия

$\frac{C P}{I O} = \frac{N C}{N I} \Rightarrow C P = 3 x \cdot \frac{12 x}{9 x} = 4 x .$

Так как $C P = 4 x < 6 x = B C$ , точка $P$ действительно лежит на стороне $B C$ , и $B P = B C - C P = 2 x$ . Следовательно,

$B P : P C = 2 x : 4 x = 1 : 2.$

Ответ: б) $1 : 2$ , считая от точки $B$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18