Из вершины C прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности средняя 2019 развёрнутое

Из вершины $C$ прямого угла прямоугольного треугольника $A B C$ проведена высота $C H .$

а) Докажите, что отношение площадей кругов, построенных на отрезках $A H$ и $B H$ как на диаметрах, равно $(tg ∠ A B C)^{4} .$

б) Пусть точка $O_{1}$ — центр окружности диаметром $A H,$ вторично пересекающей отрезок $A C$ в точке $P .$ Пусть точка $O_{2}$ — центр окружности диаметром $B H,$ вторично пересекающей отрезок $B C$ в точке $Q .$ Найдите площадь четырёхугольника $O_{1} P Q O_{2},$ если $A C = 12,$ $B C = 10.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: прямоугольный треугольник $A B C$ с прямым углом $C$ , высота $C H$ ; на отрезках $A H$ и $B H$ как на диаметрах построены окружности с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$ .

а) Треугольники $A C H$ и $A B C$ подобны по двум углам: $∠ A H C = ∠ A C B = 9 0^{\circ}$ , угол $A$ общий. Из пропорциональности сторон

$\frac{A H}{A C} = \frac{A C}{A B} \Rightarrow A H = \frac{A C ^{2}}{A B} .$

Аналогично треугольники $B C H$ и $B A C$ подобны ( $∠ B H C = ∠ B C A = 9 0^{\circ}$ , угол $B$ общий), поэтому

$\frac{B H}{B C} = \frac{B C}{A B} \Rightarrow B H = \frac{B C ^{2}}{A B} .$

Разделим одно равенство на другое:

$\frac{A H}{B H} = \frac{A C ^{2}}{B C ^{2}} .$

В прямоугольном треугольнике $A B C$ тангенс угла $B$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $tg ∠ A B C = \frac{A C}{B C}$ . Значит, $\frac{A H}{B H} = tg^{2} ∠ A B C$ .

Круги с диаметрами $A H$ и $B H$ имеют радиусы $\frac{A H}{2}$ и $\frac{B H}{2}$ , их площади

$S_{1} = π \cdot \frac{A H ^{2}}{4}, S_{2} = π \cdot \frac{B H ^{2}}{4} .$

Тогда

$\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{A H ^{2}}{B H ^{2}} = (\frac{A H}{B H})^{2} = (tg^{2} ∠ A B C)^{2} = (tg ∠ A B C)^{4},$

что и требовалось доказать.

б) Точка $P$ лежит на окружности с диаметром $A H$ , поэтому вписанный угол $A P H$ , опирающийся на диаметр, прямой: $H P ⊥ A C$ . Точно так же $∠ B Q H = 9 0^{\circ}$ и $H Q ⊥ B C$ .

У четырёхугольника $C P H Q$ углы $C$ , $P$ и $Q$ прямые, значит, это прямоугольник. Его диагональ $P Q$ делит его на два равных треугольника, поэтому

$S_{P H Q} = \frac{1}{2} S_{C P H Q} .$

Центр $O_{1}$ — середина диаметра $A H$ , поэтому $P O_{1}$ — медиана треугольника $A P H$ . Медиана делит треугольник на два равновеликих, значит,

$S_{P O_{1} H} = \frac{1}{2} S_{A P H} .$

Аналогично $O_{2}$ — середина $B H$ , $Q O_{2}$ — медиана треугольника $B Q H$ , и

$S_{Q O_{2} H} = \frac{1}{2} S_{B Q H} .$

Точка $H$ лежит на стороне $O_{1} O_{2}$ четырёхугольника $O_{1} P Q O_{2}$ , и отрезки $H P$ , $H Q$ разбивают его на треугольники $P O_{1} H$ , $P H Q$ и $Q O_{2} H$ . Треугольник $A B C$ так же разбивается на треугольник $A P H$ , прямоугольник $C P H Q$ и треугольник $B Q H$ . Поэтому

$S_{O_{1} P Q O_{2}} = S_{P O_{1} H} + S_{P H Q} + S_{Q O_{2} H} = \frac{1}{2} (S_{A P H} + S_{C P H Q} + S_{B Q H}) = \frac{1}{2} S_{A B C} .$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

$S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B C = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 = 60.$

Следовательно,

$S_{O_{1} P Q O_{2}} = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30.$

Ответ: б) $30$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18