ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: прямоугольная трапеция $ABCD$, боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям $BC$ и $AD$; $AH$ — перпендикуляр к $CD$, точка $E$ на $AB$ такая, что $CE\perp CD$.

а) Сначала поймём, какое основание меньше. Точка $E$ лежит на стороне $AB$, поэтому луч $CE$ проходит внутри угла $BCD$, и

$$\angle BCD=\angle BCE+\angle ECD>90^{\circ }.$$

Углы $BCD$ и $ADC$ — односторонние при параллельных прямых $BC$ и $AD$, поэтому $\angle ADC=180^{\circ }-\angle BCD<90^{\circ }$. Тогда $\angle BAD+\angle ADC<180^{\circ }$, и прямые $AB$ и $DC$ пересекаются в некоторой точке $S$ за точками $B$ и $C$; $BC$ — меньшее основание.

Точки $B$, $E$, $A$ лежат на луче $SA$, а точки $C$, $H$, $D$ — на луче $SD$. Обозначим $\angle ASD=\phi$. Рассмотрим четыре прямоугольных треугольника с общим острым углом $\phi$ при вершине $S$:

• $SBC$ — прямой угол $B$, так как $AB\perp BC$;
• $SCE$ — прямой угол $C$, так как $CE\perp CD$;
• $SHA$ — прямой угол $H$, так как $AH\perp CD$;
• $SAD$ — прямой угол $A$, так как $AB\perp AD$.

В каждом из них отношение катета, прилежащего к углу $S$, к гипотенузе равно $\cos \phi$:

$$\frac{SB}{SC}=\cos \phi ,\frac{SC}{SE}=\cos \phi ,\frac{SH}{SA}=\cos \phi ,\frac{SA}{SD}=\cos \phi .$$

Перемножим попарно:

$$\frac{SB}{SE}=\frac{SB}{SC}\cdot \frac{SC}{SE}={\cos }^2\phi ,\frac{SH}{SD}=\frac{SH}{SA}\cdot \frac{SA}{SD}={\cos }^2\phi .$$

Итак, $\frac{SB}{SE}=\frac{SH}{SD}$. У треугольников $SBH$ и $SED$ угол $S$ общий, а стороны, его образующие, пропорциональны. По второму признаку подобия $△SBH\sim △SED$, причём $B$ соответствует $E$, а $H$ — вершине $D$. Отсюда

$$\angle SBH=\angle SED.$$

Это соответственные углы при прямых $BH$ и $ED$ и секущей $SA$. По признаку параллельности прямых $BH\parallel ED$, что и требовалось доказать.

б) Из подобия треугольников $SBH$ и $SED$ коэффициент подобия равен

$$\frac{BH}{ED}=\frac{SB}{SE}={\cos }^2\phi .$$

Угол $BCS$ смежный с углом $BCD=120^{\circ }$, поэтому $\angle BCS=60^{\circ }$. В прямоугольном треугольнике $SBC$ сумма острых углов равна $90^{\circ }$:

$$\phi =\angle BSC=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }.$$

Тогда

$$\frac{BH}{ED}={\cos }^{2}30^{\circ }={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}.$$

Ответ: б) $\frac{3}{4}$.