ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Центр $O$ вписанной окружности равноудалён от сторон $LK$ и $LM$, поэтому лежит на биссектрисе угла $KLM$. Значит,

$$\angle OLM=\frac{1}{2}\angle KLM=30^{\circ }.$$

Прямые $LO$ и $MN$ образуют со стороной $LM$ углы $30^{\circ }$ и $60^{\circ }$, лежащие по одну сторону от $LM$; их сумма меньше $180^{\circ }$, поэтому прямые пересекаются в некоторой точке $X$. В треугольнике $LMX$ по теореме о сумме углов

$$\angle LXM=180^{\circ }-\angle XLM-\angle LMX=180^{\circ }-30^{\circ }-60^{\circ }=90^{\circ }.$$

Значит, прямая $LO$ перпендикулярна прямой $MN$.

С другой стороны, радиус $OA$, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной $MN$. Через точку $O$ проходит только одна прямая, перпендикулярная $MN$, поэтому прямые $LO$ и $OA$ совпадают, и точка $A$ лежит на прямой $LO$, что и требовалось доказать.

б) Из пункта а) $LA\perp MN$, поэтому треугольник $LAM$ прямоугольный с прямым углом $A$ и углом $M$, равным $60^{\circ }$. Тогда

$$MA=\frac{LA}{\mathrm{tg}60^{\circ }}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}.$$

Пусть $r$ — радиус окружности, $F$ — точка касания со стороной $LM$. В прямоугольном треугольнике $LFO$ катет $OF=r$ лежит против угла $30^{\circ }$, поэтому он равен половине гипотенузы: $LO=2r$.

Центр $O$ лежит внутри четырёхугольника на отрезке $LA$, поэтому

$$LA=LO+OA=2r+r=3r=3\Rightarrow r=1.$$

Пусть $G$ — точка касания со стороной $NK$. В четырёхугольнике $OANG$ углы $A$ и $G$ прямые (радиусы в точки касания), угол $N$ прямой по условию. Значит, это прямоугольник, а так как его соседние стороны $OA=OG=r$ равны, — квадрат. Поэтому $AN=OG=r=1$.

Точка касания $A$ лежит на стороне $MN$, следовательно,

$$MN=MA+AN=\sqrt{3}+1.$$

Ответ: б) $\sqrt{3}+1$.