В треугольнике ABC точки A₁, B₁ и C₁ — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC=120°, ∠BCA=15°. а) Докажите… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности средняя развёрнутое

В треугольнике $A B C$ точки $A_{1}$ , $B_{1}$ и $C_{1}$ — середины сторон $B C$ , $A C$ и $A B$ соответственно, $A H$ — высота, $∠ B A C = 12 0^{\circ}$ , $∠ B C A = 1 5^{\circ}$ .

а) Докажите, что точки $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ и $H$ лежат на одной окружности.

б) Найдите $A_{1} H$ , если $B C = 43$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Окружность через середины сторон и основание высоты H

а) По теореме о средней линии треугольника

$A_{1} B_{1} = \frac{A B}{2}, A_{1} C_{1} = \frac{A C}{2}, B_{1} C_{1} ∥ B C .$

Угол $B$ равен $18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} - 1 5^{\circ} = 4 5^{\circ}$ . Углы $B$ и $C$ не прямые, поэтому основание высоты $H$ не совпадает ни с $B$ , ни с $C$ , и треугольники $A H B$ и $A H C$ прямоугольные с прямым углом при вершине $H$ .

Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Точка $C_{1}$ — середина гипотенузы $A B$ треугольника $A H B$ , точка $B_{1}$ — середина гипотенузы $A C$ треугольника $A H C$ . Поэтому

$H C_{1} = \frac{A B}{2} = A_{1} B_{1}, H B_{1} = \frac{A C}{2} = A_{1} C_{1} .$

Треугольники $A_{1} B_{1} C_{1}$ и $H C_{1} B_{1}$ равны по трём сторонам: сторона $B_{1} C_{1}$ общая, $A_{1} B_{1} = H C_{1}$ , $A_{1} C_{1} = H B_{1}$ . Вершине $A_{1}$ соответствует вершина $H$ , поэтому равны углы, лежащие против общей стороны:

$∠ B_{1} A_{1} C_{1} = ∠ B_{1} H C_{1} .$

Точки $A_{1}$ и $H$ различны: углы $B$ и $C$ не равны, значит, $A B \neq = A C$ , и высота $A H$ не совпадает с медианой $A A_{1}$ . Обе точки лежат на прямой $B C$ , которая параллельна $B_{1} C_{1}$ , поэтому они находятся по одну сторону от прямой $B_{1} C_{1}$ .

Отрезок $B_{1} C_{1}$ виден из точек $A_{1}$ и $H$ , лежащих по одну сторону от него, под равными углами. Следовательно, точки $A_{1}$ , $H$ , $B_{1}$ и $C_{1}$ лежат на одной окружности, что и требовалось доказать.

б) Углы $B = 4 5^{\circ}$ и $C = 1 5^{\circ}$ острые, поэтому основание высоты $H$ лежит на стороне $B C$ .

По теореме синусов

$\frac{A B}{sin ∠ C} = \frac{B C}{sin ∠ A} \Rightarrow A B = \frac{4 3 \cdot sin 1 5 ^{\circ}}{sin 12 0 ^{\circ}} = \frac{4 3 \cdot sin 1 5 ^{\circ}}{\frac{3}{2}} = 8 sin 1 5^{\circ} .$

Найдём $sin 1 5^{\circ}$ по формуле синуса разности:

$sin 1 5^{\circ} = sin (4 5^{\circ} - 3 0^{\circ}) = sin 4 5^{\circ} cos 3 0^{\circ} - cos 4 5^{\circ} sin 3 0^{\circ} = \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6 - 2}{4} .$

Значит, $A B = 2 (6 - 2)$ .

В прямоугольном треугольнике $A H B$ катет $B H$ прилежит к углу $B = 4 5^{\circ}$ :

$B H = A B \cdot cos 4 5^{\circ} = 2 (6 - 2) \cdot \frac{2}{2} = 12 - 2 = 23 - 2.$

Точка $A_{1}$ — середина $B C$ , поэтому $B A_{1} = \frac{B C}{2} = 23$ . Так как $B H = 23 - 2 < 23 = B A_{1}$ , точка $H$ лежит между $B$ и $A_{1}$ , и

$A_{1} H = B A_{1} - B H = 23 - (23 - 2) = 2.$

Ответ: б) $2$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18