Дан прямоугольный треугольник ABC. Квадрат CKNM, такой, что точки K и… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Треугольники средняя 2022 развёрнутое

Дан прямоугольный треугольник $A B C$ . Квадрат $C K N M$ , такой, что точки $K$ и $M$ лежат на катетах $A C$ и $B C$ соответственно, а $N$ лежит на гипотенузе $A B$ . Квадрат $P QR T$ такой, что вершины $P$ и $Q$ лежат на $A C$ и $B C$ , а вершины $T$ и $R$ лежат на гипотенузе.

а) Докажите, что точки $C$ , $N$ и центры квадратов лежат на одной прямой.

б) Найти сторону квадрата $P QR T$ , если $A C = 12$ и $B C = 5$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Квадраты CKNM и PQRT, вписанные в прямоугольный треугольник

а) Отрезок $C N$ — диагональ квадрата $C K N M$ . Диагональ квадрата делит его угол пополам, поэтому $C N$ лежит на биссектрисе прямого угла $A C B$ . Центр квадрата $C K N M$ — середина его диагонали $C N$ , значит, он тоже лежит на этой биссектрисе.

Пусть $O$ — центр квадрата $P QR T$ , то есть точка пересечения его диагоналей $P R$ и $QT$ . Диагонали квадрата перпендикулярны и равны, а точкой пересечения делятся пополам, поэтому треугольник $P O Q$ прямоугольный и равнобедренный:

$∠ P O Q = 9 0^{\circ}, ∠ O P Q = ∠ O QP = 4 5^{\circ} .$

Сторона $P Q$ параллельна гипотенузе $A B$ (на ней лежит противоположная сторона $T R$ квадрата), поэтому прямая $P Q$ отделяет вершину $C$ от гипотенузы, а квадрат $P QR T$ и его центр $O$ лежат по другую сторону от $P Q$ , чем $C$ . В четырёхугольнике $C P O Q$

$∠ P C Q + ∠ P O Q = 9 0^{\circ} + 9 0^{\circ} = 18 0^{\circ},$

а точки $C$ и $O$ лежат по разные стороны от прямой $P Q$ . Значит, четырёхугольник $C P O Q$ вписанный.

Вписанные углы $P C O$ и $P QO$ опираются на одну дугу $P O$ , поэтому $∠ P C O = ∠ P QO = 4 5^{\circ}$ . Аналогично $∠ QC O = ∠ QP O = 4 5^{\circ}$ . Следовательно, $C O$ — биссектриса угла $A C B$ , и точка $O$ лежит на той же прямой $C N$ .

Итак, точки $C$ , $N$ , центр квадрата $C K N M$ и центр квадрата $P QR T$ лежат на биссектрисе угла $C$ , то есть на одной прямой, что и требовалось доказать.

Рисунок к решению

б) По теореме Пифагора

$A B = A C^{2} + B C^{2} = 144 + 25 = 13.$

Пусть $x$ — сторона квадрата $P QR T$ , $A T = a$ , $R B = b$ . На гипотенузе точки идут в порядке $A$ , $T$ , $R$ , $B$ , поэтому

$A B = A T + T R + R B = a + x + b .$

Обозначим $∠ C A B = α$ . Из треугольника $A B C$

$tg α = \frac{B C}{A C} = \frac{5}{12}, tg ∠ A B C = \frac{A C}{B C} = \frac{12}{5} .$

Стороны квадрата $P T$ и $QR$ перпендикулярны $T R$ , то есть гипотенузе. В прямоугольном треугольнике $A P T$ (прямой угол $T$ )

$tg α = \frac{P T}{A T} = \frac{x}{a} = \frac{5}{12} \Rightarrow a = \frac{12 x}{5} .$

В прямоугольном треугольнике $B R Q$ (прямой угол $R$ )

$tg ∠ A B C = \frac{QR}{R B} = \frac{x}{b} = \frac{12}{5} \Rightarrow b = \frac{5 x}{12} .$

Подставим в равенство для $A B$ :

$13 = \frac{12 x}{5} + x + \frac{5 x}{12} = \frac{144 x + 60 x + 25 x}{60} = \frac{229 x}{60},$

$x = \frac{13 \cdot 60}{229} = \frac{780}{229} .$

Проверим другим способом. Высота треугольника $A B C$ , проведённая к гипотенузе, равна $h = \frac{A C \cdot B C}{A B} = \frac{60}{13}$ . Треугольник $C P Q$ подобен треугольнику $C A B$ ( $P Q ∥ A B$ ), его высота равна $h - x$ , поэтому $\frac{x}{13} = \frac{h - x}{h}$ , откуда $x = \frac{13 h}{13 + h} = \frac{60}{\frac{229}{13}} = \frac{780}{229}$ . Результаты совпали.

Ответ: б) $\frac{780}{229}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18