Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N, причём… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Квадрат, прямоугольник, ромб сложная развёрнутое

Прямая, перпендикулярная стороне $B C$ ромба $A B C D$ , пересекает его диагональ $A C$ в точке $M$ , а диагональ $B D$ в точке $N$ , причём $A M : M C = 1 : 2$ , $B N : N D = 1 : 3$ .

а) Докажите, что $cos ∠ B A D = \frac{1}{5}$ .

б) Найдите площадь ромба, если $M N = 5$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Ромб ABCD, отрезок MN перпендикулярен BC

а) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам: $A O = O C$ , $B O = O D$ .

Обозначим $A M = 2 x$ , тогда $M C = 4 x$ , $A C = 6 x$ и $A O = O C = 3 x$ . Так как $A M < A O$ , точка $M$ лежит между $A$ и $O$ , и $M O = A O - A M = x$ .

Обозначим $B N = y$ , тогда $N D = 3 y$ , $B D = 4 y$ и $B O = O D = 2 y$ . Точка $N$ лежит между $B$ и $O$ , и $N O = B O - B N = y$ .

Пусть $T$ — точка пересечения прямой $M N$ со стороной $B C$ . Опустим перпендикуляры $O Q$ и $D H$ на прямую $B C$ . Прямые $N T$ , $O Q$ и $D H$ перпендикулярны $B C$ , поэтому параллельны друг другу.

Параллельные прямые $N T$ , $O Q$ , $D H$ пересекают прямые $B D$ и $B C$ . По теореме о пропорциональных отрезках (обобщённой теореме Фалеса)

$B T : T Q : Q H = B N : N O : O D = y : y : 2 y = 1 : 1 : 2.$

Параллельные прямые $M T$ и $O Q$ пересекают стороны угла $A C B$ , поэтому

$\frac{C Q}{QT} = \frac{C O}{O M} = \frac{3 x}{x} = 3.$

Обозначим $B T = n$ . Тогда $T Q = n$ , $Q H = 2 n$ , $C Q = 3 n$ . Отсюда

$B C = B T + T Q + QC = n + n + 3 n = 5 n, B H = B T + T Q + Q H = 4 n .$

Так как $B H < B C$ , точка $H$ лежит на стороне $B C$ , и $H C = B C - B H = n$ .

Рисунок к решению

Все стороны ромба равны, поэтому $D C = B C = 5 n$ . Противоположные углы ромба равны: $∠ B A D = ∠ B C D$ . Из прямоугольного треугольника $D H C$ (точка $H$ лежит на отрезке $B C$ , поэтому $∠ D C H = ∠ B C D$ )

$cos ∠ B A D = cos ∠ B C D = \frac{H C}{D C} = \frac{n}{5 n} = \frac{1}{5},$

что и требовалось доказать.

б) Пусть $K$ — точка пересечения прямой $M N$ со стороной $A D$ . Так как $A D ∥ B C$ , прямая $M N$ перпендикулярна и $A D$ . Четырёхугольник $K T H D$ имеет прямые углы при вершинах $K$ , $T$ и $H$ , значит, это прямоугольник. Поэтому

$K D = T H = T Q + Q H = 3 n, K T = D H,$

и $A K = A D - K D = 5 n - 3 n = 2 n$ .

Прямоугольные треугольники $A K M$ и $C T M$ подобны: прямые углы $K$ и $T$ , а углы $A M K$ и $C M T$ равны как вертикальные. Коэффициент подобия равен $\frac{A M}{M C} = \frac{1}{2}$ , следовательно,

$\frac{K M}{M T} = \frac{1}{2} .$

Аналогично прямоугольные треугольники $D K N$ и $B T N$ подобны (углы $D N K$ и $B N T$ вертикальные) с коэффициентом $\frac{D N}{B N} = 3$ , поэтому

$\frac{K N}{N T} = 3.$

Пусть $K T = 12 a$ . Из первой пропорции $M T = \frac{2}{3} K T = 8 a$ , из второй $N T = \frac{1}{4} K T = 3 a$ . Так как $N T < M T$ , точка $N$ лежит между $M$ и $T$ , и

$M N = M T - N T = 8 a - 3 a = 5 a .$

По условию $M N = 5$ , значит, $a = 1$ , и $D H = K T = 12$ .

Рисунок к решению

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $D H C$

$D H^{2} = D C^{2} - H C^{2} = (5 n)^{2} - n^{2} = 24 n^{2} .$

Так как $D H = 12$ , то $24 n^{2} = 144$ , $n^{2} = 6$ , $n = 6$ . Сторона ромба $B C = 5 n = 56$ .

Площадь ромба, как и любого параллелограмма, равна произведению стороны на высоту, проведённую к ней:

$S = B C \cdot D H = 56 \cdot 12 = 606 .$

Ответ: б) $606$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18