В треугольнике ABC точки A₁, B₁ и C₁ — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC=30°… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности средняя развёрнутое

В треугольнике $A B C$ точки $A_{1}$ , $B_{1}$ и $C_{1}$ — середины сторон $B C$ , $A C$ и $A B$ соответственно, $A H$ — высота, $∠ B A C = 3 0^{\circ}$ , $∠ B C A = 4 5^{\circ}$ .

а) Докажите, что точки $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ и $H$ лежат на одной окружности.

б) Найдите $A_{1} H$ , если $B C = 43$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Окружность через середины сторон и основание высоты H

а) По теореме о средней линии треугольника

$A_{1} B_{1} = \frac{A B}{2}, A_{1} C_{1} = \frac{A C}{2}, B_{1} C_{1} ∥ B C .$

Угол $B$ треугольника равен $18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 10 5^{\circ}$ , он не прямой, поэтому точка $H$ не совпадает с $B$ (и тем более с $C$ ). Так как $A H ⊥ B C$ , треугольники $A H B$ и $A H C$ прямоугольные с прямым углом при вершине $H$ .

Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. В треугольнике $A H B$ гипотенуза $A B$ , а $C_{1}$ — её середина; в треугольнике $A H C$ гипотенуза $A C$ , а $B_{1}$ — её середина. Поэтому

$H C_{1} = \frac{A B}{2} = A_{1} B_{1}, H B_{1} = \frac{A C}{2} = A_{1} C_{1} .$

Рассмотрим треугольники $A_{1} B_{1} C_{1}$ и $H C_{1} B_{1}$ . Сторона $B_{1} C_{1}$ у них общая, $A_{1} B_{1} = H C_{1}$ и $A_{1} C_{1} = H B_{1}$ . По трём сторонам эти треугольники равны, причём вершине $A_{1}$ соответствует вершина $H$ . Значит, равны углы, лежащие против общей стороны $B_{1} C_{1}$ :

$∠ B_{1} A_{1} C_{1} = ∠ B_{1} H C_{1} .$

Точки $A_{1}$ и $H$ различны: углы $B$ и $C$ не равны, поэтому $A B \neq = A C$ , и высота $A H$ не совпадает с медианой $A A_{1}$ . Обе точки лежат на прямой $B C$ , параллельной $B_{1} C_{1}$ , поэтому они находятся по одну сторону от прямой $B_{1} C_{1}$ .

Итак, отрезок $B_{1} C_{1}$ виден из точек $A_{1}$ и $H$ , лежащих по одну сторону от него, под равными углами. Тогда точки $A_{1}$ , $H$ , $B_{1}$ и $C_{1}$ лежат на одной окружности, что и требовалось доказать.

б) Угол $B$ равен $10 5^{\circ}$ , то есть тупой. Поэтому основание высоты, проведённой из вершины $A$ , лежит на продолжении стороны $B C$ за точку $B$ , и точки на прямой идут в порядке $C$ , $A_{1}$ , $B$ , $H$ .

Найдём $A B$ по теореме синусов:

$\frac{A B}{sin ∠ C} = \frac{B C}{sin ∠ A} \Rightarrow A B = \frac{B C \cdot sin 4 5 ^{\circ}}{sin 3 0 ^{\circ}} = \frac{4 3 \cdot \frac{2}{2}}{\frac{1}{2}} = 46 .$

В прямоугольном треугольнике $A H B$ угол $A B H$ смежный с углом $A B C$ :

$∠ A B H = 18 0^{\circ} - 10 5^{\circ} = 7 5^{\circ} .$

Найдём косинус $7 5^{\circ}$ по формуле косинуса суммы:

$cos 7 5^{\circ} = cos (4 5^{\circ} + 3 0^{\circ}) = cos 4 5^{\circ} cos 3 0^{\circ} - sin 4 5^{\circ} sin 3 0^{\circ} = \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6 - 2}{4} .$

Катет $B H$ прилежит к углу $A B H$ :

$B H = A B \cdot cos 7 5^{\circ} = 46 \cdot \frac{6 - 2}{4} = 6 - 12 = 6 - 23 .$

Точка $A_{1}$ — середина $B C$ , поэтому $A_{1} B = \frac{B C}{2} = 23$ . Так как $B$ лежит между $A_{1}$ и $H$ ,

$A_{1} H = A_{1} B + B H = 23 + 6 - 23 = 6.$

Ответ: б) $6$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18