Периметр треугольника ABC равен 36. Точки E и F — середины сторон AB… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Треугольники средняя развёрнутое

Периметр треугольника $A B C$ равен 36. Точки $E$ и $F$ — середины сторон $A B$ и $B C$ соответственно. Отрезок $E F$ касается окружности, вписанной в треугольник $A B C$ .

а) Докажите, что $A C = 9$ .

б) Найдите площадь треугольника $A B C$ , если $∠ A C B = 9 0^{\circ}$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Прямоугольный треугольник ABC, вписанная окружность касается EF

а) Точки $E$ и $F$ — середины сторон $A B$ и $B C$ , поэтому $E F$ — средняя линия треугольника $A B C$ . По теореме о средней линии

$E F ∥ A C, E F = \frac{1}{2} A C .$

Значит, $A E F C$ — трапеция с основаниями $E F$ и $A C$ .

Вписанная окружность касается прямой $E F$ , поэтому вся окружность лежит по одну сторону от этой прямой — по ту же, где лежит её точка касания со стороной $A C$ . Кроме того, окружность лежит внутри треугольника $A B C$ . Следовательно, она лежит внутри трапеции $A E F C$ и касается всех четырёх её сторон: $A C$ , $E F$ , а также $A E$ и $F C$ (это части сторон $A B$ и $B C$ ). То есть трапеция $A E F C$ описана около окружности.

В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны:

$A E + F C = A C + E F .$

Подставим $A E = \frac{A B}{2}$ , $F C = \frac{B C}{2}$ , $E F = \frac{A C}{2}$ :

$\frac{A B + B C}{2} = A C + \frac{A C}{2} = \frac{3 A C}{2} \Rightarrow A B + B C = 3 A C .$

Периметр треугольника равен $36$ :

$A B + B C + A C = 3 A C + A C = 4 A C = 36 \Rightarrow A C = 9,$

что и требовалось доказать.

б) Из пункта а) $A B + B C = 36 - 9 = 27$ .

Угол $A C B$ прямой, поэтому $A B$ — гипотенуза, и по теореме Пифагора $A B^{2} = A C^{2} + B C^{2}$ , то есть

$A B^{2} - B C^{2} = A C^{2} = 81.$

Разложим левую часть как разность квадратов:

$(A B - B C) (A B + B C) = 81 \Rightarrow A B - B C = \frac{81}{27} = 3.$

Решим систему

${A B + B C = 27, A B - B C = 3,$

получим $A B = 15$ , $B C = 12$ .

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

$S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B C = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54.$

Ответ: б) $54$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18