Окружность, вписанная в треугольник MNK, касается сторон MN, NK и MK… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Треугольники средняя 2016 развёрнутое

Окружность, вписанная в треугольник $M N K,$ касается сторон $M N,$ $N K$ и $M K$ в точках $A,$ $B$ и $C$ соответственно.

а) Докажите, что $N B = \frac{M N + N K - M K}{2} .$

б) Найдите отношение $M A : A N,$ если известно, что $N B : N K = 1 : 3$ и $∠ M N K = 6 0^{\circ} .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: треугольник $M N K$ и вписанная в него окружность, которая касается стороны $M N$ в точке $A$ , стороны $N K$ — в точке $B$ , стороны $M K$ — в точке $C$ .

а) Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны. Поэтому

$N A = N B, M A = M C, K B = K C .$

Точки касания лежат на сторонах треугольника, поэтому каждая сторона равна сумме двух отрезков касательных:

$M N = M A + A N, N K = N B + B K, M K = M C + C K .$

Подставим это в выражение $M N + N K - M K$ :

$M N + N K - M K = (M A + A N) + (N B + B K) - (M C + C K) .$

Так как $M A = M C$ и $B K = C K$ , эти слагаемые сокращаются, а $A N = N B$ :

$M N + N K - M K = A N + N B = 2 N B .$

Значит, $N B = \frac{M N + N K - M K}{2}$ , что и требовалось доказать.

б) Пусть $N B = a$ . По условию $N B : N K = 1 : 3$ , поэтому $N K = 3 a$ и $B K = N K - N B = 2 a$ .

По равенству отрезков касательных $N A = N B = a$ и $K C = K B = 2 a$ . Обозначим $M A = M C = x$ . Тогда стороны треугольника выражаются так:

$M N = x + a, N K = 3 a, M K = x + 2 a .$

Запишем теорему косинусов для стороны $M K$ , лежащей против угла $N$ :

$M K^{2} = M N^{2} + N K^{2} - 2 \cdot M N \cdot N K \cdot cos 6 0^{\circ} .$

Так как $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , получаем

$(x + 2 a)^{2} = (x + a)^{2} + 9 a^{2} - 3 a (x + a) .$

Раскроем скобки:

$x^{2} + 4 a x + 4 a^{2} = x^{2} + 2 a x + a^{2} + 9 a^{2} - 3 a x - 3 a^{2},$

$x^{2} + 4 a x + 4 a^{2} = x^{2} - a x + 7 a^{2} .$

Отсюда $5 a x = 3 a^{2}$ , и так как $a > 0$ , то $x = \frac{3 a}{5}$ .

Искомое отношение

$M A : A N = x : a = \frac{3 a}{5} : a = 3 : 5.$

Ответ: б) $3 : 5$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18