ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Пусть касательные $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$, $O_1$ — центр окружности, на которой лежат $A$ и $B$ (её радиус $r$), $O_2$ — центр окружности, на которой лежат $C$ и $D$ (радиус $R$).

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому

$$O_{1}A\perp AC,O_{1}B\perp BD,O_{2}C\perp AC,O_{2}D\perp BD.$$

В четырёхугольнике $O_{1}APB$ углы при вершинах $A$, $P$ и $B$ прямые (угол $P$ — по условию). Четырёхугольник с тремя прямыми углами — прямоугольник, а у этого прямоугольника соседние стороны $O_{1}A=O_{1}B=r$ равны. Значит, $O_{1}APB$ — квадрат со стороной $r$, и $PA=PB=r$.

Точно так же $O_{2}CPD$ — квадрат со стороной $R$, и $PC=PD=R$.

Касательная $BD$ внутренняя, то есть окружности лежат по разные стороны от неё. Точка $A$ принадлежит первой окружности, точка $C$ — второй, поэтому $A$ и $C$ лежат по разные стороны от прямой $BD$, и точка $P$ лежит между ними. Следовательно,

$$AC=AP+PC=r+R,$$

что и требовалось доказать.

б) Отрезок $AB$ — диагональ квадрата $O_{1}APB$ со стороной $r$, а $CD$ — диагональ квадрата $O_{2}CPD$ со стороной $R$. Диагональ квадрата в $\sqrt{2}$ раз больше стороны, поэтому

$$r=\frac{AB}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2},R=\frac{CD}{\sqrt{2}}=\frac{14}{\sqrt{2}}=7\sqrt{2}.$$

По пункту а) $AC=r+R=9\sqrt{2}$. Аналогично (точки $B$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $AC$) $BD=BP+PD=r+R=9\sqrt{2}$.

Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$, лежащей внутри каждого из них, поэтому они являются диагоналями четырёхугольника $ABCD$, причём эти диагонали перпендикулярны. Площадь четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними:

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD\cdot \sin 90^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 9\sqrt{2}\cdot 9\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot 162=81.$$

Ответ: б) $81$.