ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

а) Пусть прямая, проходящая через точку $K$ параллельно $AN$, пересекает прямую $BC$ в точке $T$.

Рассмотрим угол $ABN$. Параллельные прямые $KT$ и $AN$ пересекают его сторону $BA$ в точках $K$ и $A$, причём $BK=KA$, так как $K$ — середина $AB$. По теореме Фалеса параллельные прямые, отсекающие на одной стороне угла равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой стороне. Поэтому точка $T$ лежит на отрезке $BN$ и

$$BT=TN.$$

Другими словами, $KT$ — средняя линия треугольника $ABN$. Значит, прямая через $K$, параллельная $AN$, пересекает отрезок $BN$ в его середине, что и требовалось доказать.

б) Сначала выясним, где на стороне $BC$ лежит точка $N$. Рассмотрим треугольник $BKM$ и прямую $AN$. Она пересекает прямую $BK$ в точке $A$, сторону $KM$ — в точке $E$, сторону $MB$ — в точке $N$. По теореме Менелая

$$\frac{BA}{AK}\cdot \frac{KE}{EM}\cdot \frac{MN}{NB}=1.$$

Так как $K$ — середина $AB$, то $BA=2AK$, то есть $\frac{BA}{AK}=2$. По условию $\frac{KE}{EM}=\frac{1}{2}$. Подставим:

$$2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{MN}{NB}=1\Rightarrow MN=NB.$$

Значит, $N$ — середина отрезка $BM$. Точка $M$ — середина $BC$, поэтому

$$BN=\frac{1}{2}BM=\frac{1}{4}BC=\frac{\sqrt{13}}{4}.$$

Этот же результат можно получить из пункта а): прямые $KT$ и $EN$ параллельны, и по теореме о пропорциональных отрезках $\frac{MN}{NT}=\frac{ME}{EK}=2$. Тогда $MN=2NT=NT+TB=NB$.

Треугольник $ABC$ равносторонний, поэтому $AB=AC=\sqrt{13}$ и $\angle ABN=\angle ABC=60^{\circ }$. По теореме косинусов для треугольника $ABN$

$$A{N}^2=A{B}^2+B{N}^2-2\cdot AB\cdot BN\cdot \cos \angle ABN,$$

$$A{N}^2=13+\frac{13}{16}-2\cdot \sqrt{13}\cdot \frac{\sqrt{13}}{4}\cdot \frac{1}{2}=13+\frac{13}{16}-\frac{13}{4}=\frac{208+13-52}{16}=\frac{169}{16}.$$

Следовательно, $AN=\frac{13}{4}=3,25$.

Ответ: б) $3,25$.