ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: треугольник $ABC$ вписан в окружность, биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$, а её продолжение за точку $K$ пересекает окружность второй раз в точке $M$. Точка $M$ лежит на дуге $BC$, не содержащей точку $A$, поэтому точки идут по окружности в порядке $A$, $B$, $M$, $C$.

а) Вписанные углы $BAM$ и $BCM$ опираются на одну и ту же дугу $BM$ (точки $A$ и $C$ лежат вне этой дуги), поэтому они равны:

$$\angle BCM=\angle BAM.$$

Точно так же вписанные углы $MAC$ и $MBC$ опираются на одну дугу $MC$, значит,

$$\angle MBC=\angle MAC.$$

По условию $AM$ — биссектриса угла $BAC$, то есть $\angle BAM=\angle MAC$. Объединяя три равенства, получаем

$$\angle BCM=\angle BAM=\angle MAC=\angle MBC.$$

Итак, в треугольнике $BMC$ углы при стороне $BC$ равны: $\angle MBC=\angle MCB$. По признаку равнобедренного треугольника $MB=MC$, то есть треугольник $BMC$ равнобедренный с основанием $BC$, что и требовалось доказать.

б) Найдём косинус угла $ABC$. По теореме косинусов для треугольника $ABC$

$$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \angle ABC,$$

откуда

$$\cos \angle ABC=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{81+64-9}{2\cdot 9\cdot 8}=\frac{136}{144}=\frac{17}{18}.$$

Угол треугольника лежит между $0^{\circ }$ и $180^{\circ }$, поэтому его синус положителен. По основному тригонометрическому тождеству

$$\sin \angle ABC=\sqrt{1-{\cos }^2\angle ABC}=\sqrt{1-\frac{289}{324}}=\sqrt{\frac{35}{324}}=\frac{\sqrt{35}}{18}.$$

Теперь найдём отрезок $KC$. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$$\frac{BK}{KC}=\frac{AB}{AC}=\frac{9}{3}=3.$$

Значит, $BK=3KC$, и из $BK+KC=BC=8$ получаем $4KC=8$, то есть $KC=2$, $BK=6$.

Рассмотрим треугольник $KMC$. Точка $K$ лежит на отрезке $AM$, поэтому $\angle KMC=\angle AMC$. Вписанные углы $AMC$ и $ABC$ опираются на одну дугу $AC$ (точки $B$ и $M$ лежат на одной дуге $AC$), следовательно,

$$\angle KMC=\angle AMC=\angle ABC,\sin \angle KMC=\frac{\sqrt{35}}{18}.$$

Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $KMC$. По теореме синусов сторона треугольника, делённая на синус противолежащего угла, равна $2R$:

$$\frac{KC}{\sin \angle KMC}=2R.$$

Отсюда

$$R=\frac{KC}{2\sin \angle KMC}=\frac{2}{2\cdot \frac{\sqrt{35}}{18}}=\frac{18}{\sqrt{35}}=\frac{18\sqrt{35}}{35}.$$

Ответ: б) $\frac{18\sqrt{35}}{35}$.