ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок. Пусть $O$ и $Q$ — центры окружностей, $r$ — их радиус. Первая общая касательная касается окружностей в точках $A$ и $B$, вторая — в точках $A_1$ и $B_1$. Отрезок $CD$ касается окружности с центром $O$ в точке $A_2$, отрезок $CE$ касается окружности с центром $Q$ в точке $B_2$. На второй прямой точки идут в порядке $A_1$, $D$, $E$, $B_1$.

а) Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $OA\perp AB$ и $O{A}_1\perp A_1{B}_1$. Прямые $AB$ и $A_1{B}_1$ параллельны, поэтому через точку $O$ проходит единственный перпендикуляр к ним, и точки $A$, $O$, $A_1$ лежат на одной прямой. Аналогично $B$, $Q$, $B_1$ лежат на одной прямой, перпендикулярной обеим касательным. Значит, $A{A}_1{B}_{1}B$ — прямоугольник, и

$$A_1{B}_1=AB.$$

Кроме того, $OA$ и $QB$ параллельны, равны $r$ и перпендикулярны $AB$, поэтому $OABQ$ — прямоугольник и

$$OQ=AB.$$

Значит, нужно доказать, что $P_{CDE}=2AB$.

Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны. Обозначим

$$CA=C{A}_2=x,D{A}_1=D{A}_2=y,CB=C{B}_2=z,E{B}_1=E{B}_2=t.$$

Тогда $CD=C{A}_2+A_{2}D=x+y$, $CE=z+t$, а точка $C$ лежит на отрезке $AB$, поэтому $x+z=AB$. Точки $D$ и $E$ лежат на отрезке $A_1{B}_1$, поэтому $y+DE+t=A_1{B}_1$. Складываем:

$$P_{CDE}=CD+DE+EC=(x+y)+DE+(z+t)=(x+z)+(y+DE+t)=AB+A_1{B}_1=2AB=2OQ.$$

Что и требовалось доказать.

б) По условию $r=5$, $OQ=18$, значит, $AB=A_1{B}_1=18$. Тогда $x=AC=8$, $z=CB=18-8=10$. Осталось найти $y$ и $t$, так как

$$DE=A_1{B}_1-y-t=18-y-t.$$

Окружность с центром $O$ вписана в угол $ACD$ и в угол $CD{A}_1$, а центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе. Поэтому $CO$ и $DO$ — биссектрисы этих углов. Углы $ACD$ и $CD{A}_1$ — односторонние при параллельных прямых $AB$, $A_1{B}_1$ и секущей $CD$, их сумма равна $180^{\circ }$. Значит,

$$\angle OCD+\angle ODC=\frac{1}{2}\left(\angle ACD+\angle CD{A}_1\right)=90^{\circ },$$

и в треугольнике $COD$ угол $COD$ прямой.

Найдём стороны этого прямоугольного треугольника. Из прямоугольного треугольника $OAC$ ($\angle OAC=90^{\circ }$) и прямоугольного треугольника $O{A}_{1}D$ ($\angle O{A}_{1}D=90^{\circ }$) по теореме Пифагора

$$O{C}^2=O{A}^2+A{C}^2=5^2+8^2=89,O{D}^2=O{A}_1^2+A_1{D}^2=25+y^2.$$

Гипотенуза $CD=x+y=8+y$. По теореме Пифагора для треугольника $COD$

$$C{D}^2=O{C}^2+O{D}^2,(8+y{)}^2=89+25+y^2,64+16y=114,y=\frac{50}{16}=\frac{25}{8}.$$

Заметим, что $O{A}_2$ — высота прямоугольного треугольника $COD$, проведённая к гипотенузе, поэтому $O{A}_2^2=C{A}_2\cdot A_{2}D$, то есть $r^2=xy$. Это сразу даёт $y=\frac{25}{8}$ и позволяет быстро найти $t$.

Для второй окружности рассуждение то же самое: угол $CQE$ прямой, $Q{B}_2$ — высота к гипотенузе $CE$, поэтому

$$r^2=z\cdot t,25=10t,t=\frac{5}{2}.$$

Тогда

$$DE=18-\frac{25}{8}-\frac{5}{2}=\frac{144-25-20}{8}=\frac{99}{8}=12,375.$$

Проверим пункт а): $CD=8+\frac{25}{8}=\frac{89}{8}$, $CE=10+\frac{5}{2}=\frac{25}{2}$, и $P_{CDE}=\frac{89}{8}+\frac{99}{8}+\frac{100}{8}=36=2\cdot 18$.

Ответ: б) $12,375$.