ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — параллелограммы

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: параллелограмм $ABCD$ с острым углом $A$, $BP\perp AD$, $BQ\perp CD$, точки $P$ и $Q$ лежат на сторонах $AD$ и $CD$, точка $M$ на $AD$ выбрана так, что $AM=BP$.

а) Обозначим $\angle BAD=\alpha$. Из прямоугольного треугольника $ABP$

$$\angle ABP=90^{\circ }-\alpha .$$

Противоположные углы параллелограмма равны: $\angle BCD=\angle BAD=\alpha$. Из прямоугольного треугольника $BQC$

$$\angle QBC=90^{\circ }-\alpha .$$

Углы $BAD$ и $ABC$ односторонние при параллельных прямых $AD$ и $BC$, поэтому $\angle ABC=180^{\circ }-\alpha$. Лучи $BP$ и $BQ$ проходят внутри угла $ABC$, поэтому

$$\angle PBQ=\angle ABC-\angle ABP-\angle QBC=180^{\circ }-\alpha -2(90^{\circ }-\alpha )=\alpha .$$

Рассмотрим треугольники $BAM$ и $QBP$. В них $AB=BQ$ и $AM=BP$ по условию, а углы между этими сторонами равны: $\angle BAM=\angle QBP=\alpha$. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (вершине $B$ соответствует $Q$, вершине $A$ — $B$, вершине $M$ — $P$). Отсюда $BM=QP$. Что и требовалось доказать.

б) По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $ABP$

$$AP=\sqrt{A{B}^2-B{P}^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9.$$

Так как $AM=12>AP=9$, точка $P$ лежит между $A$ и $M$, и

$$PM=AM-AP=12-9=3.$$

Проведём в треугольнике $QBP$ высоту $QH$ на сторону $BP$. Треугольники $BAM$ и $QBP$ равны, поэтому равны и их соответственные высоты: высоте $BP$ треугольника $BAM$, проведённой к стороне $AM$, соответствует высота $QH$, проведённая к стороне $BP$. Основания высот делят соответственные стороны на равные части:

$$BH=AP=9,HP=PM=3.$$

Прямые $QH$ и $AD$ перпендикулярны одной прямой $BP$, значит, $QH\parallel AD$. Поэтому расстояние от точки $Q$ до прямой $AD$ равно расстоянию от точки $H$ до неё, то есть отрезку $HP=3$. Это и есть высота треугольника $APQ$, проведённая к стороне $AP$:

$$S_{APQ}=\frac{1}{2}\cdot AP\cdot HP=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 3=13,5.$$

Ответ: б) $13,5$.