ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — параллелограммы

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: вершины пятиугольника идут по окружности в порядке $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, диагонали $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $M$. Радиус окружности обозначим $R$.

а) У параллелограмма $BCDM$ противоположные стороны параллельны: $CD\parallel BM$, $BC\parallel MD$. Точка $M$ лежит на прямых $BE$ и $AD$, поэтому

$$CD\parallel BE,BC\parallel AD.$$

Вписанный пятиугольник выпуклый, поэтому диагональ $BD$ отделяет вершину $C$ от вершин $A$ и $E$. Значит, углы $CDB$ и $DBE$ — накрест лежащие при параллельных прямых $CD$, $BE$ и секущей $BD$:

$$\angle CDB=\angle DBE.$$

В окружности хорда равна $2R$, умноженному на синус вписанного угла, опирающегося на неё (теорема синусов для вписанного треугольника). Угол $CDB$ опирается на хорду $BC$, угол $DBE$ — на хорду $DE$:

$$BC=2R\sin \angle CDB=2R\sin \angle DBE=DE.$$

Что и требовалось доказать.

б) Пусть $AB=x$. Из $BC\parallel AD$ с секущей $BD$ получаем ещё одну пару равных накрест лежащих углов: $\angle CBD=\angle BDA$. Угол $CBD$ опирается на хорду $CD$, угол $BDA$ — на хорду $AB$, поэтому

$$CD=AB=x.$$

Противоположные стороны параллелограмма $BCDM$ равны:

$$BM=CD=x,DM=BC=DE=5.$$

Точка $M$ лежит внутри обеих диагоналей, поэтому

$$AM=AD-DM=9-5=4,ME=BE-BM=12-x.$$

В треугольнике $ABM$ равны стороны $AB=BM=x$, в треугольнике $EDM$ — стороны $DE=DM=5$. В равнобедренных треугольниках углы при основании равны:

$$\angle BAM=\angle BMA,\angle DME=\angle DEM.$$

Углы $BMA$ и $DME$ вертикальные, поэтому все четыре угла равны:

$$\angle BAM=\angle BMA=\angle DME=\angle DEM.$$

Значит, треугольники $ABM$ и $EDM$ подобны по двум углам, причём основанию $AM$ соответствует основание $EM$, а боковой стороне $AB$ — боковая сторона $DE$. Из подобия

$$\frac{AM}{AB}=\frac{ME}{DE},\frac{4}{x}=\frac{12-x}{5}.$$

Отсюда $x(12-x)=20$:

$$x^2-12x+20=0,(x-2)(x-10)=0,x=2\text{или}x=10.$$

То же уравнение даёт свойство пересекающихся хорд $AM\cdot MD=BM\cdot ME$: $4\cdot 5=x(12-x)$.

По условию $AB>BC=5$, поэтому $AB=10$.

Ответ: б) $10$.